专题13 对数函数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

专题13 对数函数

(对数函数的定义与图像，对数函数的性质）

知识梳理

一、对数函数

1、对数函数定义：

函数叫做对数函数。对数函数与指数函数互为反函数。

2、性质：

（1）对数函数的图像都在y轴的右方；

（2）对数函数的图像经过点（1,0）；

（3）对数函数,当x>1时，y>0；当0<x<1时，  y<0；

对数函数,当x>1时，y<0；当0<x<1时， y>0；

（4）对数函数在（0，+∞）上是增函数，对数函数

在（0，+∞）上是减函数。

（5）对数函数图像在第一象限的规律是：

以直线x=1把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，C1，C2，C3，C4对应，，，，则0<a4<a3<1<a2<a1。

3、复合函数的单调性

在复合函数中，如果和的增减性相异，则为减函数，如果的增减性相同，则为增函数。

例题解析

一、对数函数的概念与简单运用

【例1】求下列函数的定义域

（1）  （2）

【例2】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数的定义域。

【例3】若，则a的取值范围是   （    ）

 A．  B．

 C．  D．

【例4】函数的定义域为[1，2]，则函数的定义域为 （    ）

 A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16]

【例5】已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围。

【例6】函数

（1）              若其定义域包含一切负实数，求实数a的取值范围

（2）       当时，求y=f(x)的反函数

【巩固训练】

1．求下列函数的定义域：

2．求函数的定义域。

3．若，则实数k的取值范围是                     .

4．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是        

二、对数函数的性质与图像问题

【例7】由函数图像，画出下列各函数图像。

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

【例8】右图是对数函数的图像，已知a取则相应于C1C2C3C4的a值依次为       。

【例9】已知，试确定m和n的大小关系。

【例10】在函数的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为、、，若△ABC的面积为S，求函数的值域.

【例11】使成立的的取值范围是           。

【例12】上恒有成立，则实数的取值范围           

【例13】设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（  ）

A．且B．且C．且D．且

【巩固训练】

1．画出下列函数的大致图像

（1） （2）

2．求函数的值域。

3．已知函数，

   （1）求的定义域；

   （2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x轴？

   （3）当a、b满足什么条件时恰在取正值.

三、对数函数与指数函数的关系

抽象函数奇偶性的证明问题，往往需要对已知等式中的变量进行赋值，创造新的条件．

【例15】函数y=的图像过点（9,2），求的值。

【例16】将y=2x的图像：（     ）再作关于y=x对称图像，可得到函数y=log2(x+1)的图像。

（A）先向左平行移动1个单位      （B）先向右平行移动1个单位

（C）先向上平行移动1个单位      （D）先向下平行移动1个单位

【巩固训练】

1．函数y=f(x)满足；函数g(x)满足，且，，则函数F(x)的表达式可以是_____

四、对数函数与函数性质的综合应用

【例21】（1）求函数y=lg(x+1)的值域。

（2）求函数的值域。

（3）函数值域为R，求实数a范围。

【例22】求函数的最值。

【例23】已知x满足不等式2(log2x)2-7log2x+30,求函数f(x)=log2的最大值和最小值。

【例24】解不等式

【例25】解不等式.

【例26】已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围。

【巩固训练】

1．若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是              

2．求函数的最小值。

4．求函数单调区间。

5．解不等式

反思总结

    对数函数是在学习指数函数、对数基础上引入的。通过指数函数与对数的联系，掌握对数函数的概念、图像、性质并能应用，同时能够灵活解决对数函数和函数性质的综合题目、对数函数应用题；在解决问题中，通过数形结合，分类讨论等数学思想方法，发展逻辑思维能力，提高信息检查和整合能力

课后练习

一、选择题：

1．对数式中，实数a的取值范围是  （    ）

A． B．(2,5) C． D．

2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么   （    ）

A．x=a+3b－c B．  C．     D．x=a+b3－c3

3．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则 （    ）

A．M∪N=R B．M=N  C．MN  D．MN

4．若a＞0，b＞0，ab＞1，=ln2，则logab与的关系是 （    ）

A．logab＜     B．logab=

C． logab＞ D．logab≤

5．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是  （    ）

A．  B． C．  D．

6．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．1­5=1．61)                                          (     )

A．10%         B．16．4%          C．16．8%         D．20%

7．下列关系式中，成立的是   （    ）

A． B．

C．    D．

二、填空题：

8．函数的定义域是     ，值域是       .

9.方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为            .

10.将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为       .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).

11．已知函数.

(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.

12．设x，y，z∈R+，且3x=4y=6z.

(1)求证：;  (2)比较3x，4y，6z的大小.

13．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.

14．如图，A，B，C为函数的图象

上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4(t1).

 (1)设ABC的面积为S 求S=f (t)  ；

 (2)判断函数S=f (t)的单调性；

 (3) 求S=f (t)的最大值.

15．已求函数的单调区间.