专题14 函数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）


专题14 函数
（函数的概念，函数的表示方法）
知识梳理

一、 函数的概念
1. 函数定义：
定义一：如果在某个变化过程中有两个变量，，对于在某个范围内的每一个确定的值按照某种对应法则， 都有唯一的值与它对应，那么就是的函数，记作，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，和的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
定义二：非空数集到非空数集的一个对应关系：，使中每一个元素在中都有唯一确定的元素和它对应，那么对应关系：叫做到的函数，记作，其中，，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，和的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．（一般有）
注意：1、函数定义中要求对定义域中的任何一个，在值域中有且只有一个值和它对应；但并不要求对于值域中的每一个也只能有一个和它相对应，即函数的对应法则可以是1对1，也可以多对1，但不可以1对多（即定义域中一个对应值域中一个以上的）．
2、定义域与值域都必须是非空数集．
3、定义域的表示方法有：集合表示法、区间表示法
2.函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 .
确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
3.相等函数：如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.
注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？
（不一定。如果函数和,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数，看两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）
4.函数的表示法：
表示函数的常用方法有： 解析法 、 图象法 、 列表法 .
函数解析式的求法主要包含： 配凑法 、 待定系数法 、 换元法 、 赋值法（方程组法） .
5.函数的定义域、值域：
在函数,中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的 定义域 ；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{|}叫做函数的 值域 .
（1）函数的定义域包含三种形式：
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义。
（2）求抽象函数的定义域的时候，注意定义域指的是自变量的取值范围，注意等量关系是括号内的取值范围保持恒等不变
（2）常见简单函数的值域求法：
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法，主要运用于分式函数（运用不等式的各种性质）；④数形结合法（将函数的值域问题转化为画函数图像）。
6.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。
二、 函数关系的建立
建立变量间的函数关系大致上应分为两个基本步骤，第一，是确定其中的自变量和因变量；第二，则是依据现实世界的客观规律抽象概括出因变量与自变量之间的关系并根据实际背景确定函数的定义域.

三、 函数的运算
函数的和：设函数，，则
称为函数与的和；其中。
函数的积：设函数，，则称为函数与的积，其中。
在高中数学学习中，我们常常会碰到形如的函数，我们称这样的函数为“耐克函数”，它是正比例函数与反比例函数的和函数，一种类似于反比例函数的重要的函数之一，它的性质及图像有十分鲜明的特征和规律，其图像形如两个中心对称的对勾，故又名对号函数、对勾函数，在实际问题中有着广泛的应用．
耐克函数的一般形式是：
定义域是:
值域是：
当时， ,有最小值；
当时，,有最大值
一、 函数的概念
【例1】下列图像中，是函数图像的是（ ）
y
y
y
y
O
O
O
O
X
X
X
X

① ② ③ ④
【难度】★
【答案】①③

【例2】下列式子能确定y是x的函数的有（ ）
①=2 ② ③y=
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
【难度】★★
【答案】B

【例3】已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（ ）
A. y=f（x）图像与直线x=a必有一个交点 B.y=f（x）图像与直线x=a没有交点
C.y=f（x）图像与直线x=a最少有一个交点 D.y=f（x）图像与直线x=a最多有一个交点
【难度】★★
【答案】D


【例4】下列各组函数中，哪一组是同一函数：
（1）与； （2）与；
（3）与； （4）与
（5）与； （6）与
（7）与； （8）与
【难度】★
【答案】（4）；（6）；（8）
【例5】设，，下面图像所示的与的对应关系哪一个是到的函数关系（ ）
O
–1
1
1


O
–1
1
1
–1


1
3
1
O

–1


1
–1
1
O






【难度】★
【答案】D
【例6】作出下列函数的图象：
(1) ； (2) ；
【难度】★★★
【答案】



【例7】若函数，则
【难度】★★
【答案】

【例8】求下列函数的定义域：
⑴ ⑵

⑶ (4)=


(5) （6）=
【难度】★★
【答案】（1） （2） （3）
(4)(5)(6)
【例9】（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域为


（2）若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【例10】周长为定值的扇形，它的面积是这个扇形半径的函数，则函数定义域为 。
【难度】★★【答案】
【例11】函数＝的定义域为，则的取值范围是
【难度】★★【答案】
【例12】已知，若的图像关于平面上任意一条直线对称所得的图像，仍然是一个函数的图像，则_____．
【难度】★★★【答案】-2
【巩固训练】
1．下列曲线中，可以表示函数的图像的是（ ）
O


O



O





O



【难度】★
【答案】D

2、设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)







A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【难度】★
【答案】C
3．已知函数，那么＝____
【难度】★★【答案】


4．若函数的定义域为，则函数的定义域是
【难度】★★【答案】

5．已知函数f（x）=的定义域是，则实数的取值范围是
【难度】★★【答案】


6．已知函数若则实数的取值范围是
【难度】★★【答案】


7．定义符号函数，求不等式的解集
【难度】★★★
【答案】分类讨论（1）当x>0，原不等式等价于
（2）当x=0，原不等式恒成立
（3）当x<0，原不等式等价于取并集得原不等式的解集为

8．函数对于任意实数满足条件，若，求
【难度】★★★
【答案】

9．下列四个命题
（1）f(x)=有意义;
（2）表示的是含有的代数式
（3）函数y=2x(x)的图象是一直线；
（4）函数y=的图象是抛物线，其中正确的命题个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【难度】★★
【答案】D

二、 函数解析式的求解
【例13】求下列函数的解析式：
（1） 若,求
（2） 已知是一次函数，且满足，求
（3） 已知满足关系式，求
（4） 已知函数，则
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）



【例14】已知且，求的值．
【难度】★★
【答案】
【例15】已知二次函数（、为常数且），满足条件，且方程有等根．
(1)求的解析式；
(2)是否存在实数，，使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【巩固训练】
1．已知 ()， 求
【难度】★★【答案】令，得．∴


2．根据下列条件，求函数的解析式；
（1） 已知是一次函数，且满足；
（2） 已知；
（3） 已知等式对一切实数、都成立，且；
已知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立
【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
3．已知求和的值，并猜测使得成立的的取值范围．
【难度】★★★【答案】

4．已知函数，则函数 ．
【难度】★★【答案】

5．下列函数中,不满足的是（　　）
A． B． C． D．
【难度】★★【答案】C

6．若，，求，
【难度】★★【答案】；

7．已知二次函数满足，且对于一切实数恒成立，求；（2）求的解析式；
【难度】★★【答案】；
















三、 函数关系的建立
【例16】用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形面积（）表示为矩形一边长的函数。
【难度】★★【答案】

【例17】某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯收益（已扣工资等）1万元，据评诂在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后年收益为y万元。写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
【难度】★★【答案】

【例18】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元
（1）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少？如果订购1000个，利润又是多少？（利润=单价-成本）
【难度】★★
【答案】（1）设每个零件的实际出厂价恰好为51元时，一次订购量为x个，
则60-0.02（x-100）=51，得x=550
（2）由（1）可知当时，P=60；当，P=51；
由题意可知，当，P关于x线性递减，满足一次函数关系式：
把（60，100），（51，550）代入一次函数解析式，可得
综上所述，
（3）设一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
，当x=500，L=6000;
X=1000，L=11000
【例19】某工厂有一面长14米的旧墙，现在准备利用这面墙建造平面图为矩形的面积为126平方米的厂房，考虑到要节约费用因此利用旧墙（长度不得超过其总长），而没有利用的部分可拆去作为修建新墙的材料，具体工程条件如下：
（1） 建1米新墙的费用为a元；
（2） 修1米旧墙的费用为元；
（3） 拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙费用为元；
问：设利用旧墙为x，建墙费用为y，试建立y与x的函数关系式y=f(x)。
【难度】★★
【答案】利用旧墙的一段为矩形一面边长，则修旧墙费用为元，将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为元，其余建新墙的费用为元，故总费用为
【巩固训练】
1．用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为，则此框架围城的面积关于的函数解析式为 ．
【难度】★★【答案】


2．有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.

【难度】★★
【答案】如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 -7x
∴ 窗框的高为3x，宽为
即窗框的面积 y = 3x ·= -7x2 + 6x ( 0 < x <)
配方：y = ( 0 < x < 2 )
∴ 当x =米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大

3．有一块形状为直角梯形的材料ABCD，其尺寸如图所示（单位：分米）．现从中截取一块矩形材料EBFP，点P在CD上，设FP为．
（1）用表示EP的长度；
（2）设矩形EBFP的面积为，求关于的函数解析式；

【难度】★★
【答案】（1）（2）





4．某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元／平方米，在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元／平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元／平方米．设总造价为S元，AD长为x米，试建立S（元）关于x（米） 的函数关系式
【难度】★★【答案】设米，米，则，根据题意

















四、 函数的运算
【例20】设函数，，则 ．
【难度】★【答案】
【例21】已知定义域分别是、的函数、，设函数
（1）若写出的解析式；
（2）对（1）中的函数，试求其值域.
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）值域为

【例22】（1）求函数在上的最值；

（2） 求函数在上的最值；

（3） 求函数在上的最值．
【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）





【例23】函数，画出取不同范围的值时函数的图像．
【难度】★★★【答案】略

【巩固训练】
1．已知函数的定义域为求函数的定义域.
【难度】★★【答案】

2设函数求
【难度】★★【答案】

3．已知其中是的正比例函数，是的反比例函数，且求的解析式并求其值域.
【难度】★★★【答案】，值域为

4． （1）求函数在上的最小值；
（2） 若函数在上的最小值为6，求的取值范围；

（3） 若函数在上是减函数，求的取值范围．
【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）








5．设函数， 求
【难度】★★【答案】

五、 函数值域的求解

【例26】若函数时的最小值为，求函数当[-3,-2]时的最值
【难度】★★★
【答案】 时，为减函数
在上，也为减函数
，
【例27】对a,bR,记max{a,b}=，求函数f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值。
【难度】★★【答案】

【例28】已知函数在区间上的最小值为，求实数的值
【难度】★★【答案】
【例29】函数的定义域为
1） 求实数的取值范围。
2） 当变化时，设已知函数的最小值为，求的解析式和值域。
【难度】★★
【答案】（1）；（2）

【巩固训练】

1.（1）已知函数在区间上的最大值为4，求的值

（2）已知函数的值域是，则实数的取值范围是
【难度】★★【答案】或；（2）



2．求下列函数的最小值
（1）（2）（3）
【难度】★★【答案】（1）3；（2）；（3）10

3．函数的定义域为，值域为，则满足条件的实数组成的集是 ．
【难度】★★【答案】

4．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是
【难度】★★【答案】

5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围 ．
【难度】★★【答案】
6．对于任意实数，函数恒为正值，求的取值范围．
【难度】★★★【答案】

反思总结

与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．
与解析式有关的几种方法：
(1)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的解析式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)方程思想：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出.
与函数值域有关的几种方法：
(1) 配方法：一元二次函数值域的求法，还可以通过换元将带有根号的函数转化为一元二次函数求值域，注意新元的取值范围
(2) 换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解
(3) 分离常数法：分式函数一般都是通过分离常数解决问题
(4) 判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解
(5) 数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法
(6) 平方开方法：解决含有根号的函数问题，注意等价转化


课后练习

1．下列各式中是的函数的解析式有 个.
①，②，③，④
【难度】★
【答案】①、②、③

2．某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，100分钟可以流完，则油箱中剩油Q(升)与流出时间t（分）的函数解析式是________________，自变量t的取值范围_______________.
【难度】★
【答案】；

3．王叔叔从家门口步行20分钟到离家900米的书店，停留10分钟后，用15分钟返回家里，图中能表示王叔叔离家的时间与距离之间的关系的图像是 ( )

【难度】★★
【答案】D

4．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A、 与 B、
C、 与 D、
【难度】★
【答案】D

5．函数对一切实数都有成立，且．求的解析式；
【难度】★★
【答案】


6．求下列函数的定义域：

（4） （5）

（6） （7）（）
【难度】★★
【答案】（1）； ；（4）；（5）；（6）；（7）


7．求下列函数定义域
1）已知函数的定义域为，求的定义域。
2） 已知函数的定义域为，求的定义域
3） 已知函数的定义域为，求的定义域。
4） 设函数的定义域为，则的定义域为
5）若的定义域为，求的定义域
【难度】★★【答案】1）；2）；3） 4） 5）


8． （1）已知求的解析式.
（2） 已知函数，求函数，的解析式

（3） 已知是二次函数，且，求的解析式
（4） 已知函数满足，则= 。
【难度】★★【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）

9．已知函数的值域为[1，3]，求的值
【难度】★★【答案】

10．对于，不等式恒成立的的取值范围是
【难度】★★【答案】或　


11．函数 ，若，则=
【难度】★★【答案】

12．已知函数的最大值为4，最小值为 —1 ，则= ，=
【难度】★★【答案】

13．求函数在区间[ 0 , 2 ]上的最值
【难度】★★★
【答案】对称轴为 （1）， ，
（2）， ，
（3）， ，
（4） ， ，

14．求下列函数的值域
（1）； （2）；

（3） ； （4）；

（5） ； （6）；

（7） ； （8）


（9）； （10）

【难度】★★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）

15．已知函数
（1）若函数的值域为，求的值
（2）若函数的值都是非负数，求函数的值域
【难度】★★★
【答案】（1）原命题等价于二次函数与x轴只有一个交点，

（2）原命题等价于二次函数的图像恒在x轴的上方（最多与x轴有一个交点）
，
因为抛物线对称轴且开口向下，又，由二次函数图像可得，即函数值域为

16． （1）设函数，若，则实数的取值范围是______.
（2） 设若，则的取值范围为_____________.
（3） 若是的最小值，则的取值范围为
【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）

17． 下列函数是同一个函数的是
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.

【难度】★★
【答案】（3）（5）


18．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求B在上，D在上，且对角线过C点，已知AB=3米，AD=2米，
（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内?
(2)当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积；
(3)若的长度不少于6米，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积。

【难度】★★★
【答案】（1）设米，，则
∵ ∴
∴ ∴
∴ ∴ ∴或
（2） 此时
（3）∵
令，

此时
答：（1）或
（2）当的长度是4米时，矩形的面积最小，最小面积为24平方米；
（3）当的长度是6米时，矩形的面积最小，最小面积为27平方米。

19．据预测，某旅游区游客人数在500至1300之间，游客人数人与游客的消费总额元之间近似的满足关系式：，若该景区游客的人数为多少时，游客的人均消费最高，并求游客的人均最高消费额。
【难度】★★
【答案】设游客的人均消费额为，，当且仅当时，游客的人均消费最高，游客的人均最高消费额为400元

20．如图，已知动点P从边长为1的正方形ABCD顶点A开始沿边界逆时针绕一圈，若用x表示点P从A出发后的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数解析式．

【难度】★★
【答案】