2021-2022学年八年级数学上学期期末测试卷（北师大版，成都专用）03

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2021–2022学年上学期期末测试卷03（北师大版，成都专用）
八年级数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
A卷（100分）
第I卷（选择题，共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．－8的立方根是（ ）
A．－2 B． C． D．2
【答案】A
【分析】
根据立方根的定义，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴的立方根是．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查立方根的定义，掌握，则x是a的立方根，是解题的关键．
2．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据分式分母不为零和二次根式的非负性计算即可；
【详解】
∵代数式有意义，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，准确计算是解题的关键．
3．若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
A．a=3，b=－5 B．a=－3，b=5 C．a=3，b=5 D．a=－3，b=1
【答案】A
【分析】
关于y轴对称的点的坐标特征是：横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变，据此解出a,b的值．
【详解】
解：根据题意，点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，
则a+b=-2，a=3,
解得b=-5,
故选：A．
【点睛】
本题考查关于y轴对称的点的坐标，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．若3、4、为勾股数，则a的值为（ ）
A．－5 B．5 C．－5或 D．5或
【答案】B
【分析】
根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数求解即可．
【详解】
解：∵3、4、a为勾股数，
当4为直角边时，
∴a==5，
当4为斜边时，
∴a==，不是整数，舍去，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
5．如果二元一次方程组的解是二元一次方程x﹣y﹣4＝0的一个解，那么a的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】
根据x﹣y﹣4＝0，可以得到x﹣y＝4，整体代入到方程组的第二个方程中即可得到关于a的方程，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：，
∵x﹣y﹣4＝0，
∴x﹣y＝4③，
把③代入②得：4a＝4，
∴a＝1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，把（x-y）看做一个整体，整体代入到方程组的第二个方程中是解题的关键．
6．下列命题中是真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．三边长为，，的三角形是直角三角形
C．等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质可直接排除选项．
【详解】
A、由两直线平行，内错角相等可知是假命题，不符合题意；
B、由可知三边长为，，的三角形不是直角三角形，是假命题，故不符合题意；
C、由等腰三角形底边上的中线、高线及顶角的角平分线互相重合可知是假命题，故不符合题意；
D、三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的性质、命题及垂直平分线的性质，熟练掌握平行线的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的性质、命题及垂直平分线的性质是解题的关键．
7．在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为S甲2＝0.24，S乙2＝0.42，S丙2＝0.56，S丁2＝0.75，成绩最稳定的是（ ）
A．甲． B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】
根据方差的意义，即可求解．
【详解】
解：∵S甲2＝0.24，S乙2＝0.42，S丙2＝0.56，S丁2＝0.75
∴
∴成绩最稳定的是甲
故选A
【点睛】
此题考查了方差的意义，方差反应一组数据的波动情况，方差越小数据越稳定，理解方差的意义是解题的关键．
8．如图把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF＝（ ）


A．110° B．115° C．120° D．130°
【答案】B
【分析】
先根据翻折的性质可得∠2=∠3，再根据平角的定义求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案．
【详解】
解：∵长方形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1=50°，
∴，
∵长方形对边AD∥BC，
∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．
故选：B．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记翻折前后重合的两个角相等并准确识图是解题的关键．
9．如图所示，已知函数和的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由两个函数的交点坐标同时满足两个函数解析式，从而可得方程组的解.
【详解】
解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P的坐标为（-4，-2），
∴关于x，y的二元一次方程组的解是．
故选D．
【点睛】
本题考查的是利用函数的交点坐标确定方程组的解，明确交点坐标的含义与掌握数形结合的方法解题是关键.
10．关于函数，给出下列结论：
①当时，此函数是一次函数；
②无论取什么值，函数图象必经过点；
③若，则函数图象经过一、二、三象限；
④当时，原点到函数图象的距离为
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】
①根据一次函数定义即可求解；
②，即可求解；
③当时，，函数图像经过二、四象限，据此判断即可；
④当时，函数，得到， ，，利用等积法，可求出原点到函数图象的距离，据此判断即可．
【详解】
解：①根据一次函数定义：函数为一次函数，∴，故正确；
②，故函数过 ，故正确；
③当时，，函数图象经过一、二、四象限，故错误；
④当时，函数，
如图示：

当时， ，
当时， ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即原点到函数图象的距离为，故正确；
综上所述，其中正确结论的序号是①②④
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
11．比较大小：﹣3___﹣4
【答案】＜
【分析】
先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
【详解】
解：∵， ，
∴ ，即 ．
故答案为：<．
【点睛】
本题主要考查算术平方根的性质以及不等式的性质，熟练其性质是解题关键．
12．已知正比例函数y＝（k﹣2）x的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是______．
【答案】k＜2
【分析】
在正比例函数y＝kx中，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此判断即可．
【详解】
解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x中，y随x的增大而减小，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2，
故答案为k＜2．
【点睛】
本题考查正比例函数的性质，根据性质内容解题是关键．
13．如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，CD平分∠ACB，若∠ADC＝78°，则∠A＝____°．

【答案】76
【分析】
根据角平分线的定义得到∠BCD=∠ACB，根据三角形的外角的性质求出∠B，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB，
∵∠B=∠ACB，
∴∠BCD=∠B，
∴∠B+∠B=∠ADC=78°，
∴∠B=52°，

∴∠A=180°-∠B-∠ACB=76°，
故答案为：76．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为_______．

【答案】75°
【分析】
利用平角的定义可得∠ADE＝15°，再根据平行线的性质知∠A＝∠ADE＝15°，再由内角和定理可得答案．
【详解】
解：∵∠CDE＝165°，
∴∠ADE＝15°，
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠ADE＝15°，
∴∠B＝180°−∠C−∠A＝180°−90°−15°＝75°．
故答案是：75°．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．计算下列各题
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据负指数幂、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解；
（2）先对二次根式进行化简，然后再进行去括号求解即可．
【详解】
解：（1）原式=；
（2）原式=．
【点睛】
本题主要考查二次根式的运算及负指数幂、零次幂，熟练掌握二次根式的运算及负指数幂、零次幂是解题的关键．
16．解方程组或不等式组
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）4 【分析】
（1）由①式得出一个用y表示x的式子，代入②中求解；
（2）①和②两个式子分别求出解集可得出不等式组的解集．
【详解】
（1）由①得：x=7-2y③，
将③代入②中，得2（7-2y）-y=4
14-4y-y=4
-5y=-10
y=2
将y=2代入③中，得x=7-4=3
故方程的解为；
（2）①移项得：2x>8
x>4
②去分母得：9（x-4）≤2x+6
去括号得：9x-36≤2x+6
移项得：7x≤42
x≤6
综上，不等式组的解集为4 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．已知ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣1，4)，B(﹣3，4)，C(﹣5，2)．
（1）请在坐标平面内画出ABC；
（2）请在y轴上找一点P，使线段AP与BP的和最小，并直接写出P点坐标（保留作图痕迹）．

【答案】（1）见解析；（2）图见解析，P的坐标为（0，4）
【分析】
（1）根据点坐标描出点A、B、C，依次连线即可得到ABC；
（2）过点A作y轴的对称点，连接B与y轴交于一点即为点P．
【详解】
解：（1）如图：

（2）过点A作y轴的对称点，连接与y轴交于一点即为点P，此时AP+BP最小，点P的坐标为（0，4）．

【点睛】
此题考查作图能力，最短路径问题，正确掌握平面直角坐标系中点的坐标特点描出各点及最短路径问题的解题方法是解题的关键．
18．为了解学生每天回家完成作业时间情况，某中学对学生每天回家完成作业时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：
（1）被抽样调查的学生有　　人，并补全条形统计图；
（2）每天回家完成作业时间的中位数是　　（小时），众数是　　（小时）；
（3）该校共有2000名学生，请估计该校每天回家完成作业时间超过2小时的学生有多少人？

【答案】（1）80，见解析；（2）2，2；（3）400
【分析】
（1）根据回家作业完成时间是1小时的人数24人及其占抽样调查总人数的百分比30%，即可求得抽样调查的总人数，进而即可求得完成作业时间为3小时以上的人数占抽样调查总人数的百分比，最后再求出完成作业时间为2小时的占比并求出其人数，并补充完整条形统计图即可；
（2）根据中位数及众数的求法进行填空即可；
（3）先算出每天回家完成作业时间超过2小时的学生占抽样调查总人数的百分比，然后用2000乘上所求的百分比即可．
【详解】
解：（1）（人），
完成时间在“3小时以上”的所占的百分比为，
完成时间在“2小时”的所占的百分比为，
完成时间在“2小时”的人数为（人），补全条形统计图如图所示：

（2）将这80名学生完成作业时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是2小时，因此中位数是2小时，
这80名学生完成作业时间出现次数最多的是“2小时”，共出现40次，因此众数是2小时，
故答案为：2，2；
（3）（人），
答：该校2000名学生中每天回家完成作业时间超过2小时的有400人．
【点睛】
本题主要考查了数据的统计及分析，熟练掌握相关求解方法是解决本题的关键．
19．如图，已知直线l1经过点A(5，0)，B(1，4)，与直线l2：y＝2x﹣4交于点C，且直线12交x轴于点D．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）求直线l1与直线l2交点C的坐标；
（3）求ADC的面积．

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）依题意设直线的函数表达式为，将的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可；
（2）联立的解析式求得点的坐标；
（3）根据与轴的交点，求得的坐标，进而求得的长度，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】
（1）设直线的函数表达式为，
将代入，得，

解得
直线的函数表达式为；
（2）直线与直线相交于点，

解得
点的坐标为，
（3）在中，令，
则，
解得，
点的坐标为，
，
，
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，求两直线围成的三角形面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
20．如图，Rt△ABC与Rt△DEF的边BC、EF在直线l上，∠ACB＝∠EDF＝90°，DE＝DF＝，Rt△DEF沿直线l向左平移．
（1）如图1，当点F与点B重合时，连接AE，若AC＝，BC＝3，判断△ABE的形状，并说明理由；
（2）如图2，当点D刚好落在AB的中点处，若AB＝4，求CE长；
（3）如图3，当点E与点C重合时，若点D刚好落在边AB上，过点F作FM⊥BC，交AB于点M，若AC＝，求FM长．

【答案】（1）△ABE是等腰三角形，理由见解析；（2）﹣1；（3）
【分析】
（1）先求出EF，进而求出BE，再求出AE，即可得出结论；
（2）先判断出BD＝CD＝2，再判断出CH＝BH＝BC，再利用等腰直角三角形的性质求出EH＝FH＝EF＝1，进而求出BH，即可得出结论；
（3）先判断出DF＝DG，CG＝2，进而判断出△ADG≌△FDM，即可得出结论．
【详解】
（1）△ABE是等腰三角形，理由：
在Rt△DEF中，DE＝DF＝，
∴EF＝DE＝2，
∵点F与点B重合，
∴BE＝2，
∵BC＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得，AE＝＝2，
∴AE＝BE，
∴△ABE是等腰三角形；
（2）如图2，连接CD，

∵点D是AB的中点，
∴CD＝BD＝AB＝2，
过点D作DH⊥BC于H，
∴CH＝BH＝BC，
在Rt△DEF中，DH⊥BC，
∴EH＝FH＝EF＝1，
在Rt△BHD中，BH＝＝，
∴CE＝CH﹣EH＝BH﹣FH＝﹣1；
（3）如图3，延长FD交CA的延长线于G，

∵∠EDF＝90°，DE＝DF，
∴∠CDG＝∠CDF＝90°，∠ACD＝∠FCD＝45°，
∵CD＝CD，
∴△GDC≌△FDC（ASA），
∴CG＝CF＝EF＝2，
∵MF⊥BC，
∴∠MFB＝90°＝∠ACB，
∴AC∥FM，
∴∠G＝∠DFM，∠DAG＝∠DMF，
∴△ADG≌△FDM（AAS），
∴FM＝AG＝CG﹣AC＝2﹣＝．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．已知：若的整数部分为a，小数部分为b，则3a﹣（b+3）2＝_____．
【答案】-1
【分析】
先估算无理数的范围，求出a、b的值，代入求出即可．
【详解】
解：∵3＜＜4，
∴整数部分a＝3，小数部分b＝﹣3，
∴3a﹣（b+3）2＝3×3﹣（﹣3+3）2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法，正确得出的取值范围是解题关键．
22．若关于，的二元一次方程组，则__．
【答案】．
【分析】
利用加减法表示出，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】
解：，
①②，得，
，
，
．
答案：．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23．小明从家步行到学校需走的路程为2000米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行20分钟时，距离学校还有__米．

【答案】240
【分析】
当8≤t≤23时，设s=kt+b，将（8，800）、（23，2000）代入求得s=kt+b，，求出t=20时s的值，从而得出答案．
【详解】
解：当8≤t≤23时，设s=kt+b，
将(8，800)、(23，2000)代入，得：
，
解得：，
∴s=80t+160；
当t=20时，s=1760，
∵2000﹣1760=240，
∴当小明从家出发去学校步行20分钟时，到学校还需步行240米．
故答案为：240．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为____．

【答案】，
【分析】
利用图形分别得出点横坐标，，，的横坐标分别为：，，，，点的横坐标为：，再利用纵坐标变化规律进而得出答案．
【详解】
解：分别过点，，，作轴，轴，轴于点，，，
，
，，，，
可得出，
，
，，，，
可得，，
同理可得出：，，，，
，，，的横坐标分别为：，，，，
点的横坐标为：，
，，，的纵坐标分别为：1，，，，，
点的纵坐标为：，
点的坐标为；点的坐标为：，．
故答案为：，．

【点睛】
此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律分别得出B点横纵坐标的规律是解答本题的关键．
25．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OD＝3，则CP+PM+DM的最小值是_____．

【答案】．
【分析】
如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝3，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．
【详解】
解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，
则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝3，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，
∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，
当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，
作C′T⊥D′O于点T，
则C′T＝OT＝，
∴D′T＝4，
∴C′D′＝，
∴CP+PM+DM的最小值是．
故答案为：．

【点睛】
本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表．

A型（台）
B型（台）
总进价（元）
第一次
20
30
90000
第二次
10
20
55000
（1）求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？
（2）已知商场第三次购进A型和B型电视机共40台，A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售，设购进A型电视机a台，销售完这40台电视机商场可获利W元．
①求出利润W与a的函数关系式；
②若利润为31600元，此时应购进A型和B型电视机各名少台？
【答案】（1）该商场购进A型电视机的单价为1500元，B型电视机的单价为2000元．（2）①W＝﹣700a+40000．②应购进A型电视机12台，B型电视机28台．
【分析】
（1）设该商场购进型电视机的单价为元，型电视机的单价为元，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购进型电视机台，销售完这40台电视机商场可获利元，则购进型电视机台，根据获得的总利润销售每台电视机获得的利润销售数量，即可得出关于的函数关系式；
②代入，即可求出的值，再将其代入中即可求出结论．
【详解】
解：（1）设该商场购进A型电视机的单价为x元，B型电视机的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：该商场购进A型电视机的单价为1500元，B型电视机的单价为2000元．
（2）①设购进A型电视机a台，销售完这40台电视机商场可获利W元，则购进B型电视机（40﹣a）台，
依题意得：W＝（2000×0.9﹣1500）a+（3750×0.8﹣2000）（40﹣a）＝﹣700a+40000．
②当W＝31600时，﹣700a+40000＝31600，
∴a＝12，
∴40﹣a＝28．
答：此时应购进A型电视机12台，B型电视机28台．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）①根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；②代入的值，求出与之对应的值．
27．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．
（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．
①求证：BD＝CM；
②若∠CMD＝90°，求的值；
（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的长．

【答案】（1）①见解析；②；（2）
【分析】
（1）①只需要证明△ABD≌△ACM即可得到结论；
②由①得△ABD≌△ACM，∠B＝∠ACD＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质可以得到CD=2BD，从而得出结论；
（2）解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，证明△ADF∽△AEG，可以求出DF，利用勾股定理可以求出EF的长，从而可以求解；
解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC于Q，由（1）同理得△ABD≌△ACM，设CQ＝x，则CM＝2x，QM＝x，证明△ADE≌△AME，最后利用勾股定理求解即可.
【详解】
解：（1）①证明：如图1，

∵∠BAC＝∠DAM＝120°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAM，
∵AB＝AC，AD＝AM，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴BD＝CM；
②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
由①知：△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°，
∴∠DCM＝60°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠CDM＝30°，
∴CM＝CD，
∵BD＝CM，
∴；
（2）解：解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，

Rt△CEG中，∠C＝30°，CE＝1，
∴EG＝CE＝，CG＝，
∵AC＝AB＝，
∴AG＝AC﹣CG＝，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴AF＝AC＝，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴∠DAF＝∠EAG，
∵∠AFD＝∠AGE＝90°，
∴△ADF∽△AEG，
∴，即，
∴DF＝，
由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AG2+EG2，
∴，
解得：EF＝2或﹣2（舍），
∴DE＝DF+EF＝+2＝；
解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC于Q，

由（1）同理得△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM，
∴∠MCQ＝60°，
Rt△QMC中，CQ＝CM，
设CQ＝x，则CM＝2x，QM＝x，
∴EQ＝x﹣1，
∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠EAC+∠CAM＝60°，
∴∠DAE＝∠EAM，
∵AD＝AM，AE＝AE，
∴△ADE≌△AME（SAS），
∴EM＝DE＝5﹣2x，
由勾股定理得：EM2＝EQ2+QE2，
∴（x）2+（x﹣1）2＝（5﹣2x）2，
解得：x＝，
∴DE＝5﹣2x＝．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
28．如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交AB于点D．

（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连结AE，点F是射线OG上一点，当，且 时，
①求EF的长；
②在x轴上找一点P，使的值最小，求出P点坐标．
（3）如图2，若，过B点，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②当为最小值时，点P的坐标为；（3）点M的坐标为或
【分析】
（1）根据题意列方程即可得出结论；
（2）①由（1）可得OA=OB=4，求得OE=2，过点F作FH⊥y轴于点H，易证△OHF≌△AOE，则有FH=OE=2，OH=OA=4，进而根据勾股定理可求解；
②作点E关于x轴的对称点N，连接ND，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得ND即为的最小值，则ND与x轴的交点即为P点，进而求出ND的解析式，最后求解即可；
（3）根据题意得到点C的坐标，如图，当点M在点A的左侧，根据全等三角形的性质得到OM=OC=3，当点M在点A的右侧时，根据三角形的面积即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴当y=0时，则有，
∴，
当x=0时，则y=-4，
∴；
（2）①由（1）可得，
∴OA=OB=4，
∵点E是线段OB的中点，
∴OE=2，
过点F作FH⊥y轴于点H，如图所示：

∴∠AOE=∠OHF=90°，
∵OG⊥AE，
∴∠OAE+∠AOF=∠HOG+∠AOF=90°，
∴∠OAE=∠HOG，
∵OF=AE，
∴△OHF≌△AOE（AAS），
∴FH=OE=2，OH=OA=4，
∴点H与点B重合，
∴；
②作点E关于x轴的对称点N，连接ND，如图所示：

由轴对称的性质可得OA垂直平分NE，则有点P到点N、E的距离相等，再由两点之间线段最短可得ND即为的最小值，此时ND与x轴的交点即为P点，
由①可得：点，，则点，
∴易得OF解析式为：，
联立，解得：，
∴点，
设ND的解析式为，则有：
，解得：，
∴ND解析式为，
∴令y=0时，则，解得：，
∴当为最小值时，点P的坐标为；
（3）存在，理由如下：
∵，
∴直线OG：，
∵BC∥OG，
∴易得直线BC的解析式为，
当y=0时，即，
∴，
∴，
如图，当点M在点A的左侧时，

∵∠ABO=45°，∠ABM+CBO=45°，
∴∠MBO=∠CBO，
∵∠COB=∠MOB=90°，OB=OB，
∴△BCO≌△BMO（ASA），
∴OM=OC=3，
∴，
当点M在点A的右侧时，如图所示：

∵∠OAB=∠AMB+∠ABM=45°，∠ABM+∠CBO=45°，
∴∠AMB=∠OBC，
∵∠CBO=∠OBM，
∴∠COB+∠OBM=90°，
设OM=a，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】
本题主要考查直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合，熟练掌握直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合是解题的关键．