高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积教学设计

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第二十五教时教材：复习四——平面向量的数量积及运算律目的：要求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应用于平行、垂直等问题。过程：一、    复习：1．  定义、其结果是一个数量。2．  a•b>00≤<90；a•b=0==90 即ab；a•b<090<≤1803．  性质1 —54．  运算律二、     例题：1．  已知|a| = 5，|b| = 8，a 与b的夹角为60，求 |a + b |解：a•b = |a||b|cos60 = 5×8×= 20∴|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = 129∴|a + b | =2．  求证：|a + b |≤|a| + |b|证：|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos ≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = ( |a| + |b| )2 即：|a + b |≤|a| + |b|3．  设非零向量a、b、c、d，满足d = (a•c) b  (a•b)c，求证：ad证：内积a•c与a•b均为实数， ∴a•d = a•[(a•c) b  (a•b)c] = a•[(a•c) b]  a•[(a•b)c]= (a•b)(a•c)  (a•c)(a•b) = 0             ∴ad4．  已知非零向量a、b，满足a ±b，求证：ba垂直于a+b的充要条件是|a| = |b|证：由题设：ba与a+b均为非零向量必要性：设ba垂直于a+b，则(ba)(a+b) = 0  又：(ba)(a+b) = b2  a2 = |b|2  |a|2    ∴|b|2  |a|2 = 0    即：|a| = |b|充分性：设|a| = |b|，则(ba)(a+b) = b2  a2 = |b|2  |a|2 = 0即：(ba)(a+b) = 0   ∴(ba)  (a+b)5．已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，    a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角。       解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0    ①             (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0    ②           两式相减：2ab = b2           代入①或②得：a2 = b2设a、b的夹角为，则cos =   ∴ = 60 6．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。    证：设== a , == b        ∵ABCD为菱形     ∴|a| = |b|         ∴= (b + a)(b  a) = b2  a2 = |b|2  |a|2 = 0        ∴7．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H，= a, = b, = h,则= h  a , = h  b , = b  a ∵,  ∴∴又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点三、     作业：《导学•创新》   §5. 6