人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教学设计

3.3 探究函数的图象与性质

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)

一、教学目标

1.能作出函数的图象

2.掌握函数的图象与性质

二、教学重难点

1.函数的图象与性质的探究过程

三、教学过程

1.1函数的引入

我们知道函数和都是幂函数，不同的函数通过加减乘除等运算可以构成新的函数，那么将这两个函数“相加”构成的函数有哪些性质呢？

1.2问题探究，形成规律

问题1 你认为可以从哪些方面研究函数？

【预设的答案】定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、图象

【设计意图】研究一个函数应该研究什么？即研究一个函数应该从哪些方面入手.

问题2  你认为按照怎么的顺序去研究函数比较合适？

【预设的答案】应该先研究定义域、接着研究奇偶性、单调性、最值、值域、图象

【设计意图】应该先研究定义域，定义域优先原则，研究奇偶性可以事半功倍，研究单调性可以了解函数的增减趋势，为画图做好了准备，再结合最值、值域等可以画出函数的草图。

问题2.1 请写出函数的定义域，并判断函数奇偶性

【预设的答案】定义域为，为奇函数。

【设计意图】证明函数的奇偶性，要注意两步走应该先求定义域，看其是不是关于原点对称，接着求，若，则为奇函数；若，则为偶函数.

问题2.2求函数的单调区间？

【预设的答案】且

当时，

所以即且均有，所以函数的单调递减区间为；

当时，

所以即且均有所以函数的单调递增区间为；

综上函数的单调递减区间为；单调递增区间为.

【设计意图】考察学生用定义法证明单调性的过程，注意过程的规范性.

追问 你能写出函数的单调区间？

【预设的答案】由问题2.2以及函数奇偶性可知函数的单调递减区间为；单调递增区间为

【设计意图】体现出研究函数奇偶性的必要性，这样可以事半功倍.

问题2.3 求函数的最值

【预设的答案】当且仅当x=1时，函数最小值为2，无最大值.

【设计意图】考察学生利用基本不等式求最值的能力,利用基本不等式求最值，需要注意“一正，二定，三相等”.

追问 求函数的最值

【预设的答案】法1：当且仅当x=-1时，函数最大值为-2，无最小值.

法2：由问题2.3再结合函数奇偶性，可知当且仅当x=-1时，函数最大值为-2，无最小值.

【设计意图】一方面可以通过奇偶性（中心对称）得到，另一方面可通过基本不等式得到，仍然需要注意“一正，二定，三相等”.

问题2.4 根据前面问题的研究，你能试着画出的图象吗？

【预设的答案】由问题2.2可知函数在单调递减，在单调递增，且当x=1时函数最大值为2，当时，当时,,所以函数的渐近线为和

【设计意图】考察学生的画图能力，需要注意特殊点，特殊位置，以及渐近线.

问题2.5 你能试着画出的图象吗？

【预设的答案】由问题2.4可画出函数图象又因为函数为奇函数，由对称性可知函数的图象为

【设计意图】再次体现出研究奇偶性的必要性“事半功倍”

追问 函数的图象像什么？能不能给它起个名字？

【预设的答案】像个对勾，“耐克”

【设计意图】用通俗易懂的名字给该函数命名，比如“双勾函数”“对勾函数”“耐克函数”加深学生的印象.

问题3 你能利用函数和的图象变化趋势说明一下函数的图象变化趋势吗？

【预设的答案】函数在均匀增长，而函数虽然也在递减但是在递减较快，在递减较慢，而函数和的通过叠加可得到函数图象，所以函数在递减，在递增，在结合三者在同一坐标系的图象可以更直观体现出这种关系.

【设计意图】函数和的与函数的联系.

1.3总结规律

问题4 通过对函数的图象与性质的研究，你有哪些体会？

【预设的答案】函数的三要素以及函数性质与图象是研究函数的主要方向，但是需要遵循一定的研究顺序，这样可以事半功倍，先确定函数的定义域，接着奇偶性，其次单调性最值，图象.

【设计意图】总结研究过程，形成经验.

1.4应用规律

问题5 你能试着研究函数的图象与性质吗？函数呢？请补充下列表格

【预设的答案】

【设计意图】应用探究所形成的经验，解决问题.