高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教案，共23页。


知识点一 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点二 奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
预习小测 自我检验
1．若f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，则f(0)＝________.
答案 0
2．若f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则f(－1)________f(1)．(填“>”“＝”或“<”)
答案 >
解析 f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在R上单调递减，
∴f(－1)>f(1)．
3．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数f(x)在区间[3,7]上是________函数．
答案 减
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，∴f(x)在[3,7]上是减函数．
4．函数f(x)为偶函数，若x>0时，f(x)＝x，则x<0时，f(x)＝________.
答案 －x
解析 方法一 令x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－x，
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－x(x<0)．
方法二 利用图象(图略)可得x<0时，f(x)＝－x.
一、利用函数的奇偶性求解析式
命题角度1 求对称区间上的解析式
例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.
反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
跟踪训练1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．
解 因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．
因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．
f(0)＝0.
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x，x≥0，,－xx－1，x<0.))
命题角度2 构造方程组求解析式
例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1).①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝eq \f(1,－x－1)，
∴f(x)－g(x)＝eq \f(1,－x－1)，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝eq \f(1,x2－1)；
(①－②)÷2，得g(x)＝eq \f(x,x2－1).
反思感悟 f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.
利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．
跟踪训练2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小
例3 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)答案 A
解析 因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．
反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
跟踪训练3 (1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定
答案 A
解析 ∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(－10)＝f(10)(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)
①f(a)>f(－b)；②f(－a)>f(b)；
③g(a)>g(－b)；④g(－a)⑤g(－a)>f(－a)．
答案 ①③⑤
解析 f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，
∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，
又－a<－b<0，∴f(－a)∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，
∴①正确，②错误．
x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，
∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．
又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．
三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式
例4 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则eq \f(fx,x)<0的解集为________．
答案 {x|－33}
解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3故所求解集为{x|－33}．
(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))
答案 A
解析 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)即－eq \f(1,3)<2x－1解得eq \f(1,3)反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式；
(2)转化为简单不等式求解．
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)解 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，
所以f(x)在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f(1－m)m，,－2≤m≤2，,－2≤1－m≤2，))
解得－1≤m所以实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))).
1．若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A．f(－3)>f(0)>f(1)
B．f(－3)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－3)
D．f(1)>f(－3)>f(0)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 B
解析 ∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0)．
2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 C
3．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
答案 －x＋1
解析 当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
4.奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________．
答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
解析 奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)．
5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．
又因为f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．
又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以|x－1|<2，解得－2所以－11．知识清单：
(1)利用奇偶性，求函数的解析式．
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．方法归纳：
利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．
3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．
1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x≥0，,gx，x<0，))且f(x)为偶函数，则g(－2)等于( )
A．6 B．－6 C．2 D．－2
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 A
解析 g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
2．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上是( )
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
答案 A
解析 f(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，
又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，
∴f(1)＝－5，故选A.
3．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是( )
A．a≤－2 B．a≥2
C．a≤－2或a≥2 D．－2≤a≤2
答案 D
解析 由f(a)≥f(－2)得f(|a|)≥f(2)，
∴|a|≤2，∴－2≤a≤2.
4．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
答案 D
解析 y＝f(x)是偶函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝0的所有实根之和为0.
5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 A
解析 ∵x1<0，x1＋x2>0，
∴x2>－x1>0，
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(x2)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x2)＝f(x2)6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
答案 －5
解析 由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，
∴f(－2)＋f(0)＝－5.
7．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 (－∞，1)
解析 由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，
所以f(x)在R上单调递增，
f(x)8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．
答案 f(－2)解析 ∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)即f(－2)9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 求奇偶函数的单调区间
解 (1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
于是有f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0.))
(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．
10．已知函数f(x)＝ax＋eq \f(b,x)＋c(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝eq \f(5,2)，f(2)＝eq \f(17,4).
(1)求a，b，c的值；
(2)试判断函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上的单调性并证明．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－ax－eq \f(b,x)＋c＝－ax－eq \f(b,x)－c，
∴c＝0，∴f(x)＝ax＋eq \f(b,x).
又∵f(1)＝eq \f(5,2)，f(2)＝eq \f(17,4)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝\f(5,2)，,2a＋\f(b,2)＝\f(17,4).))
∴a＝2，b＝eq \f(1,2).
综上，a＝2，b＝eq \f(1,2)，c＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝2x＋eq \f(1,2x).
函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上为减函数．
证明如下：
任取0则f(x1)－f(x2)＝2x1＋eq \f(1,2x1)－2x2－eq \f(1,2x2)
＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2x1x2)))
＝(x1－x2)eq \f(4x1x2－1,2x1x2).
∵0∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上为减函数．
11．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式eq \f(fx－f－x,x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，eq \f(fx－f－x,x)<0，
即eq \f(fx,x)<0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，
∴当x>1时，f(x)<0.
∵奇函数图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，
即x<－1时，f(x)>0.
综上使eq \f(fx,x)<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
12．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意实数x，y都成立，则函数f(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
答案 A
解析 令x＝y＝0，所以f(0)＝f(0)＋f(0)，
所以f(0)＝0.
又因为f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，故选A.
13．已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 －1
解析 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)答案 1 (0,2)
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以f(0)15．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 C
解析 ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.
∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.
16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有eq \f(fa＋fb,a＋b)>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解 (1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得eq \f(fa＋f－b,a－b)>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．