人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算习题

《立体几何与空间向量》

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）

1、(2009山东卷理)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的(          )

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件   C.充要条件         D.既不充分也不必要条件

2、在△ABC中，,若使绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是（     ）

A.       B.      C.       D.

3.（2009全国卷Ⅱ文） 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线与所形成角的余弦值为（     ）

A.          B.             C.      D.    

4、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（    ）

A.　         B.         　C.　      D. 中学学科

5、某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（   ）. 

A.   B.    C.    D.

6、一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四边形的面积是（   ）.

A.    B.     C.    D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）

1、把边长为的正方形ABCD沿对角线AC翻折,则过A,B,C,D四点的球的体 积为                。

2、关于直线与平面，有下列四个命题：

1）若∥，∥，且∥，则∥；

2）若，且，则；

3）若，∥且∥，则；

4）若∥，且，则∥；

其中不正确的命题为       

3、已知某个几何体的三视图如下，

根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是                     

4、在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P在AD上运动，设，将   沿BP折起，使得面ABP垂直于面BPDC， AC长最小时的值为       ．

5、 如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为                  。

三、解答题：（本大题共2小题，满分25分）

1、（2009广东东莞）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.（1）求的值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

2. 如图，在三棱锥中，，，．

（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离．

一、选择题

1、【答案】:B【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的

一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件.   

2、【答案】.A 【解析】：

3.【答案】：C【解析】：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，CD’∥BA',因此求△EBA'中∠A'BE即可，易知EB=,A'E=1,A'B=,故由余弦定理求cos∠A'BE=，或由向量法可求。

4、【答案】C【解析】：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为，由题意得， ，，所以，

当且仅当时取等号

5、【答案】D

【解析】从三视图可以观察发现几何体是正三棱柱，底面边长为2cm，高为1cm，所以体积为.

6、【答案】B

二、填空题

1、【解析】本题不告知翻折的角度，意在提醒学生找不变量。不难发现正方形对角线交点到四个顶点的距离相等，故交点即为球心，半径为1。

【答案】

2、【答案】1），4）；

【解析】 传统空间位置关系的判断依然是高考小题考查的重点，解决此类问题，可多参考教室空间，或手中的笔与桌子这些具体模型。

3、【解析】 三视图是新增考点，根据三张图的关系，可知几何体是正方体的一部分，是一个四棱锥。本题也可改编为求该几何体的外接球的表面积，则必须补全为正方体，增加了难度。

【答案】

4、【解析】本题是立体几何中的最值问题，建立数学模型，用函数解决是一种重要方法。过A作AHBP于H，连CH，

∴．∴．

在，[来源:学*科*网]

∴在，，∴时，AC长最小；

【答案】

5、 【解析】此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开。侧面展开后得矩形，其中问题转化为在上找一点使最短作关于的对称点，连接，令与交于点则得 的最小值为

【答案】

三、填空题

解法一：（1），

就是异面直线与所成的角，

即，……（2分）

连接，又，则

为等边三角形，……………………………4分

由，，

；………6分

（2）取的中点，连接，过作于，连接，

,平面

                             ………………8分

又，所以平面，即，

所以就是平面与平面所成的锐二面角的平面角。…………10分

在中，，，,

，…………………………13分

因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。…………14分

说明：取的中点，连接，…………同样给分（也给10分）

解法二：（1）建立如图坐标系，于是，，，（）

，， …………3分

由于异面直线与所成的角，

所以与的夹角为

即

………6分

（2）设向量且平面

于是且，即且， 

又，，所以，不妨设……8分

同理得，使平面，（10分）

设与的夹角为，所以依，

，………………12分

平面，平面，

因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。…………14分

说明：或者取的中点，连接，于是显然平面

2. 解法一：（Ⅰ）取中点，连结．，．，．

，平面．平面，．

（Ⅱ），，．又，．

又，即，且，平面．取中点．连结．

，．是在平面内的射影，．

是二面角的平面角．在中，，，，．中学高.考.资.源.网

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．过作，垂足为．

平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．

由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．在中，，，中学高.考.资.源.网

．． 点到平面的距离为．中学学科

网解法二：（Ⅰ），，．又，

．，平面．平面，．

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．

设．，，．取中点，连结．

，，，．是二面角的平面角．

，，，中学高.考.资.源.网

．

（Ⅲ），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．

如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．中学学点到平面的距离为．