高中人教版新课标A3.1空间向量及其运算同步练习题

第七章   第六节空间向量及其运算[理]

课下练兵场

一、选择题

1．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高

BD等于                                                       (　　)                                                  

A．5　　　　　　B.            C．4            D．2

解析：设＝λ，又＝(0,4，－3)．

则＝ (0,4λ，－3λ)．

＝(4，－5,0)，

＝(－4,4λ＋5，－3λ)，

由·＝0，

得λ＝－，∴＝(－4，，)，∴||＝5.

答案：A

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：

①(－)－；

②()－；

③()－2；

④(＋)＋.

其中能够化简为向量的是                                         (　　)

A．①②        B．②③         C．③④        D．①④

解析：①；

②；

③；

④，

综上①②符合题意．

答案：A

3．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则可表示为(用a，b、c表示)．                                  (　　)

A.a＋b＋c       B.a＋b－c        C.a＋b＋c         D.a－b＋c

解析：×()

＝×()

＝＋＋＝a＋b＋c.

答案：A

4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＋，则x、y的值分别为                                (　　)

A．x＝1，y＝1             B．x＝1，y＝

C．x＝，y＝             D．x＝，y＝1

解析：如图，

＋＋()．

答案：C

5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则EF与BD1所成的角是                                                            (　　)

A．90°          B．60°           C．30°             D．0°

解析：可求得∥，即BD1∥EF.

答案：D

6．已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则＋()等于(　　)

A．      B．      C．      D.

解析：如图所示：()＝，＋＝.

答案：A

二、填空题

7．在空间四边形ABCD中，＝________.

解析：设＝b，＝c，＝d，

则＝d－c，＝d－b，＝c－b.

原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c(d－b)＝0

答案：0

8．已知点A(1, 2,1)，B(－1,3,4)，D(1, 1,1)，若＝2，则| |的值是________．

解析：设P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1)．

＝(－1－x,3－y,4－z)

由＝2得点P坐标为(－，，3)，

又D(1,1,1)，∴| |＝.

答案：

9．(2009·平顶山模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为________．

解析：建系可求得cosθ=

答案：

三、解答题

10．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：

(1)；

(2) .

解：如图，设＝a，

＝b，＝c，

则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，

a·b＝b·c＝c·a＝0.

(1) ·

＝b·[(c－a)＋b]

＝|b|2＝42＝16；

(2) ·＝[(c－a)＋b]·(b＋a)

＝(－a＋b＋c)·(b＋a)

＝－|a|2＋|b|2

＝2.

11．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见下图)．求B、D间的距离．

解：∵∠ACD=90°，∴＝0.

同理＝0

∵AB和CD成60°角，∴〈〉＝60°或120°.

∵，

∴

＝

＝3＋2×1×1×cos〈〉

＝

∴| |＝2或，即B、D间的距离为2或.

12．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

解：(1)证明：设＝a，

＝b，＝c，

根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，

∴＝b＋c，＝－c＋b－a.

∴·＝－c2＋b2＝0.

∴⊥，即CE⊥A′D.

(2) ＝－a＋c，∴| |＝|a|，| |＝|a|.

·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，

∴cos〈，〉＝＝.

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.