高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列课后复习题

1.2  等差数列（练习）

一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在等差数列中，若，，则

A. －1             B. 0             C. 1             D. 6

【答案】C

【解析】（解法一）因为，，有，得1，故选C．

（解法二）因为，，所以，，故选C．

2．在等差数列中，若，则

A．15             B．20             C．25             D．30

【答案】B

【解析】由，得，则，故选B．

3．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为

A．130             B．170             C．210             D．260

【答案】C

【解析】（解法一），即成等差，

 ，．故选C．    

（解法二）特值法：取 则， 

，， ．故选C．   

4．设是等差数列，则下列结论中正确的是

A．若，则      B．若，则

C．若，则      D．若，则

【答案】C

【解析】反例   A： 2，-1，-4   B：2，-1，-4    D:-3，-2，-1  或 不成立．

C：，，．故选C． 

5．在等差数列中，，，以表示的前项和，

则使达到最大值的是

A．21             B．20             C．19             D．18

【答案】B

【解析】（解法一），，

,， ， ，， 

当时取最大值20．故选B．

（解法二），，两式相减得：，．

又，，．

令,得,当时取最大值20．故选B．

6．数列的首项为，为等差数列且．若，，则 

A．0             B．3             C．8             D．11

【答案】B

【解析】且，,,

,,

     ．故选B．

二、填空题

7．记为等差数列的前项和，，，则___________．

【答案】4

【解析】因为，所以，即，

所以．

8．已知是等差数列的前项和，且,（），则         ．

【答案】3

【解析】（解法一）由,得, 所以．

因为，所以，所以，

整理得，，解得，或（舍去）．

（解法二）因为，

所以对应的函数的图象是一条抛物线，因为，

所以的图象关于对称．

又因为，所以，解得．

9．已知为等差数列，表示的前项和，满足，，

则取得最大值时的取值为：___________．               

【答案】5

【解析】因为，所以，又，

即， 所以，所以当时，取得最大值． 

10．已知数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有

个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的

前项和为，则__________．（用数字作答）

【答案】3993

【解析】（解法一）第个1为数列的第项

当时；当时；

所以前2019项有45个1和个2，

所以．

（解法二）把该数列排成如下格式

1，2

1，2，2，2

1，2，2，2，2，2

1，2，2，2，2，2，2，2

…

设其前行共有项，则,

令 则 又,

即前行共有项，其中有个，个,

所以第项为第行第项（其中有个，个）,

即前项共有个，个,

所以． 

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

11．记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，

证明：是等差数列．

【解析】因为数列是等差数列，设公差为，

所以，，所以，

所以当时，，

当时，，满足，

所以的通项公式为，

所以，所以是等差数列．

12．已知数列的前项和为，，，，其中为常数，

（I）证明：；

（II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．

【解析】（I）， ，

，  又， ．

（II）由（I）可知：的奇数项和偶数项均为等差数列．

若为等差数列，则，又，

，即．

由，，可得:,．

，即，解得，

，又，

当时，是以2为公差的等差数列．