高中数学北师大版必修5本节综合课后练习题

1.2等差数列同步练习北师大版高中数学必修五

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知等差数列的前n项和为，，，，则 

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

2. 已知等差数列满足，，则等于     

A. 33 B. 16 C. 13 D. 12

3. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，则

A. 28 B. 14 C. 7 D. 2

4. 已知等差数列的前n项和为，若，且，则m等于   

A. 39 B. 20 C. 19 D. 10

5. 记为等差数列的前n项和，已知，则数列的公差为   

A. 2 B. 4 C. 1 D.

6. 记为数列的前n项和，数列对任意的p，满足若，则当取最小值时，n等于 

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

7. 已知，数列x，，，y与x，，，，y都是等差数列，则的值是       

A.  B.  C.  D.

8. 已知数列为等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，则使得的n的最大值为   

A. 11 B. 19 C. 20 D. 21

9. 已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n为   

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

10. 已知数列满足，是等差数列，则数列的前10项的和  

A. 220 B. 110 C. 99 D. 55

11. 风雨桥是侗族最具特色的建筑之一风雨桥由桥、塔、亭组成其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影其正六边形的边长计算方法如下：，，，，，其中，根据每层边长间的规律建筑师通过推算，可初步
     

估计需要多少材料所用材料中横向梁所用木料与正六边形的周长有关某一风雨桥亭、塔共5层，若，则这五层正六边形的周长总和为

A. 35m B. 45m C. 210m D. 270m

12. 在等差数列中，，记2，，则数列

A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设数列的前n项和为，且，，则数列的通项公式          ．
14. 记等差数列的前n项和为，若，，则          ．
15. 已知数列的前n项和满足：，则数列中最大项等于______．
16. 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为______．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

17. 设等差数列前n项和为若，，则          ，的最大值为          ．
18. 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，得到橘子最多的人所得的橘子个数是          ；得到橘子最少的人所得的橘子个数是          ．
19. 张丘建算经卷上有一题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．意思就是说：有一位善于纺织的女子，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现有一个月共织了390尺布按30天计，记该女子第n天织布的量为，则          ，每天比前一天多织布          尺．
20. 设等差数列的前n项和为，若，，则          ，的最小值为          ．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

21. 等差数列中，．
    求的通项公式；
    设，求数列的前10项和，其中表示不超过x的最大整数，如，．
    
    
    
    
    
    
     
22. 数列 满足，，．

设，证明：数列是等差数列；

求数列的通项公式．






 

23. 已知数列中，，．

若数列是等差数列，求的值

若数列是等差数列，求数列的通项公式．






 

24. 设等差数列满足，．
    Ⅰ求数列的通项公式；
    Ⅱ求的前n项和及使得最小的n的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列前n项和中的基本量计算，属于拔高题．
由题意可得，并且，结合等差数列的性质可得，进而利用等差数列的前n项和公式可得答案．

【解答】

解：因为，所以，
因为，，
因为，
所以，
所以根据等差数列的性质可得：，
即，
由等差数列的前n项和的公式可得：，并且，
所以解得．
故选B．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题．
利用等差数列的性质得到，然后求出，，进一步求出公差，将所求变形为代入即可．
【解答】
解：设等差数列的公差为d，
因为，
所以，
又因为，
所以或．
当时，，
所以
当时，，
所以．
故选C．  

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了等差数列的求和，等差数列的通项公式，属于基础题．
根据等差数列的通项公式即可得，再利用求和公式即可得．

【解答】

解：数列为等差数列，设公差为d，
且，
，
解得，
，
故选B．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】本题考查等差数列性质和等差数列求和，属于基础题．
由题意得到，再代入，求出m即可．

【解答】解：数列为等差数列，
则，
则可化为，
解得．
又，
则．
故选B．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了等差数列的求和，属于基础题．
利用等差数列的求和公式，结合题目条件，计算得结论．
【解答】
解：设等差数列的公差为d．
因为等差数列的前n项和，
而，所以，解得
因此数列的公差为4．
故选B．  

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推关系，考查等差数列的通项公式，属于拔高题．
根据题意可求的，再由条件可得，对任意，可得，则可得是等差数列，，要使最小由计算求出n的取值范围，取整即可．

【解答】

解：由
，
所以，
由条件可得，对任意，
，
所以是以2为公差，为首项的等差数列，
所以，且是递增数列，
要使最小，由
解得，
则．
故选A．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列通项公式及性质，属于基础题． 
根据等差数列通项及性质即可得出． 

【解答】

解：数列x，，，y和x，，，，y各自都成等差数列，
，，
，
．
故选A．

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】本题考查等差数列，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
利用的n的最大值，即是使的n的最大值．从而
得到，，则使得的n的最大值为19．

【解答】解：等差数列的前n项和有最大值，所以等差数列的公差．
因为，所以使得的n的最大值，即是使的n的最大值．
又由，得，
所以，，得，
所以，．
故使的n的最大值为19，即使得的n的最大值为19．  

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的性质和等差数列的求和，属于中档题．
由等差数列的性质得，从而得到，由此能求出结果．

【解答】

解： 因为 ，
所以，
所以，
所以，
所以．
故选D．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查求数列通项公式和裂项相消法求和，属于中档题．
本题的关键是求出数列的通项公式．
【解答】
解：设等差数列的公差为d，
则，
将已知值和等量关系代入，计算得，
所以，
所以
，
故选B．  

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了数学阅读能力，考查了等差数列的定义，考查了等差数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力．
根据等差数列的定义，结合已知可以判断数列是等差数列，最后利用等差数列前n项和公式进行求解即可．
【解答】
解：由已知得：，，
因此数列是以为首项，公差为的等差数列，
设数列前5项和为，
因此有，
所以这五层正六边形的周长总和为．
故选C．  

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值，进一步分析得答案．

【解答】

解：设等差数列的公差为d，由，，得，
．
由，得，而，
可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．
可知，，，为最大项，
自起均小于0，且逐渐减小．
数列有最大项，无最小项．
故选：B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列递推式，考查了由递推公式求通项公式，是中档题．
由已知数列递推式可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，求其通项公式后，利用求得数列的通项公式．

【解答】

解：由，得：
，
即，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，．
当时，．
时上式不成立，
．
故答案为：．

14.【答案】14
 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的前n项和的求法，等差数列的通项公式，是中档题．
利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出．

【解答】

解：设等差数列的公差为d，
，，
，
解得，，
．
故答案为14．

15.【答案】
 

【解析】解：已知，
得时，，
则，
即：，
令，
又当时，，解得，
数列是首项，公差为1的等差数列，
则，
所以，，
又因为，
所以，
故数列中且最大．
故答案为：．
依题意可得数列为公差为1的等差数列，令，可求得其通项公式，继而可得数列的通项公式，从而可求得答案．
本题考查数列递推式的应用，分析出数列为公差为1的等差数列是关键，考查运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

【解答】
解：已知数列为等差数列，其中，，，．
设公差为d，则，，
解得：．
故答案为：．

17.【答案】4

42

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查根据二次函数性质求前n项和的最大值，注意数列的项数是正整数，属于基础题．
由已知建立方程组求得等差数列的首项和公差d，代入通项公式求得，代入前n项和公式，根据二次函数的性质可得的最大值．

【解答】

解：设等差数列的公差为d，
由题意得，解得
所以，
，
则是关于的二次函数，根据二次函数的性质可知，
当或7时，取得最大值，且的最大值为42．
故答案为4，42  ．

18.【答案】18

6

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的定义和求和，属于基础题．
设得到橘子最多的人所得的橘子个数为x，则由多到少排成以为公差，项数为5的等差数列，根据等差数列求和公式即可得解．

【解答】

解：设得到橘子最多的人所得的橘子个数为x，
则由多到少排成以为公差，项数为5的等差数列，
因为和为60，
则，解得．
则得到橘子最少的人所得的橘子个数是，
故答案为18；6．

19.【答案】26

【解析】

【分析】

本题考查等差数列通项公式，前n项和公式，属于基础题．
设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，由等差数列前n项和公式求出，由此利用等差数列通项公式能求出的值．

【解答】

解：设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，
则，
解得，
．
故答案为26；．

20.【答案】0

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，属于中档题．
利用等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出，，由此能求出和的最小值．

【解答】

解：设等差数列的前n项和为，，，

解得，，
，
，
或时，取最小值为．
故答案为0；．

21.【答案】解：设等差数列的公差为d，
，，
，
解得，
；
，
，
，
，
．
故数列的前10项和．
 

【解析】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，考查了数列的求和，属于中档题．
设等差数列的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；
根据，列出数列的前10项，相加可得答案．
 

22.【答案】解：由，得，
即．
又，
所以是首项为1，公差为2的等差数列．
由得，即．
于是

，
则．
所以的通项公式为．
 

【解析】略
 

23.【答案】解：设等差数列的公差为d，则，

由，得．

所以，

所以．

设，则数列是等差数列，

，，公差为，

所以，

即，

所以．

【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于简单题．
根据等差数列的通项公式求得公差d，然后代入通项公式求得的值；
设，则数列是等差数列，根据等差数列的定义求得，易得数列的通项公式．
 

24.【答案】解：，
，
；
，
则，
结合二次函数的性质可知当时，最小．
即使得最小的n的值为7．
 

【解析】本题考查等差数列的通项公式以及求和公式，属于基础题．
求出首项，公差，再求；
先求，再根据二次函数性质求解即可．