初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数教案设计

22．1.3 二次函数 y＝a(x－h)2＋k的图象和性质  第 1 课时              二次函数 y＝ax2＋k的图象和性质

1. 会用描点法画出 y＝ax2＋k的图象．

2. 掌握形如 y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．

3. 理解二次函数 y＝ax2＋k与 y＝ax2 之间的联系．

一、情境导入

在边长为 15cm 的正方形铁片中间剪去一个边长为 x(cm)的小正方形铁片， 剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？

二、合作探究

探究点一：二次函数 y＝ax2＋k的图象与性质

【类型一】y＝ax2＋k的图象与性质的识别

若二次函数 y＝ax2＋2 的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是

( )

1. a＝2

2. 当 x＜0，y随 x的增大而减小C．顶点坐标为(2，0)

D．图象有最低点

解析：把 x＝－2，y＝10 代入 y＝ax2＋2 可得 10＝4a＋2，所以 a＝2，∴y

＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点，当 x＜0，y随 x的增大而减小，所以 A、  B、D 均正确，而顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选 C.

方法总结：抛物线 y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)，对称轴是 y轴．

【类型二】二次函数 y＝ax2＋k增减性判断

已知点(x，y)，(x，y)均在抛物线 y＝x2－1 上，下列说法中正确的

1 1 2 2

是( )

A．若 y1＝y2，则 x1＝x2

B．若 x1＝－x2，则 y1＝－y2

C．若 0＜x1＜x2，则 y1＞y2

D．若 x1＜x2＜0，则 y1＞y2

解析：如图所示，选项 A：若 y1＝y2，则 x1＝－x2，所以选项 A 是错误的； 选项 B：若 x1＝－x2，则 y1＝y2，所以选项 B 是错误的；选项 C：若 0＜x1＜x2，   在对称轴的右侧，y随 x的增大而增大，则 y1＜y2，所以选项 C 是错误的；选项 D：若 x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，y随 x的增大而减小，则 y1＞y2，所以选项 D  是正确的．

方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．

【类型三】识别 y＝ax2＋k的图象与一次函数图象

在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c与二次函数 y＝ax2＋c的图

象大致为( )

解析：当 a＞0 时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当 a＜0 时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项 A，C，D，故选B.

【类型四】确定 y＝ax2＋k与 y＝ax2 的关系

抛物线 y＝ax2＋c与 y＝－5x2 的形状大小，开口方向都相同，且顶点

坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线 y＝－5x2 怎样得到的？

解：抛物线 y＝ax2＋c与 y＝－5x2 的形状、大小相同，开口方向也相同，∴ a＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)．∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线 y＝－  5x2 向上平移 3 个单位得到的．

方法总结：抛物线 y＝ax2＋k与 y＝ax2 开口大小，方向都相同，只是顶点不   同，二者可相互平移得到．

探究点二：二次函数 y＝ax2＋k的应用

【类型一】y＝ax2＋k的图象与几何图形的综合应用

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方  形 ABOC的三个顶点 A、B、C，则 ac的值是               ．

解析：二次函数 y＝ax2＋c与 y轴的交点为(0，c)，因此 OA＝c，根据正方

c c c c c c

形对角线互相垂直平分且相等，不难求得 B(－

2

， )、C( 2 2

， )，因为 C( ， ) 2 2 2

在函数 y＝ax2＋c的图象上，将点 C坐标代入关系式即可求出 ac的值．

解：∵y＝ax2＋c与 y轴的交点为(0，c)，四边形 ABOC为正方形，∴C点坐

c c 2 c c 2

标为( ， )．∵二次函数 y＝ax＋c经过点 C，∴ ＝a( ) ＋c，即 ac＝－2.

2 2 2 2

方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性．

【类型二】二次函数 y＝ax2＋k的实际应用

1 2 7

如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 y＝－ x＋ 运行，然后

5 2

准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为 3.05m. (1)球在空中运行的最大高度为多少？

(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为 2.25m，要想投入篮筐， 则他距离篮筐中心的水平距离是多少？

1 2 7

解：(1)∵y＝－ x＋ 的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度

5 2

为 3.5m.

1 2 7 1 2 7

(2)在 y＝－ x＋ 中，当 y＝3.05 时，3.05＝－ x＋

，解得 x＝±1.5.∵

5 2 5 2

篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标 x＝1.5.又当 y＝2.25 时，2.25

1 2 7

＝－ x＋

5 2

，解得 x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标 x

＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为 1.5－(－2.5)＝4(m)．

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数 y＝ax2＋k

的图象与性质，体会抛物线 y＝ax2 与 y＝ax2＋k 之间联系与区别.