人教版九年级上册22.1.1 二次函数教案

第 2 课时 二次函数 y＝a(x－h)2 的图象和性质

1. 会用描点法画出 y＝a(x－h)2 的图象．

2. 掌握形如 y＝a(x－h)2 的二次函数图象的性质，并会应用．

3. 理解二次函数 y＝a(x－h)2 与 y＝ax2 之间的联系．

一、情境导入

涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．从如图所示的直角坐标系中，你能得到函数图象解析式吗？

二、合作探究

探究点：二次函数 y＝a(x－h)2 的图象和性质

【类型一】y＝a(x－h)2 的图象与性质的识别

已知抛物线 y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点

(－4，2)，求 a，h的值．

解：∵抛物线 y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛

2 2 1

物线 y＝a(x＋2) 经过点(－4，2)，∴(－4＋2) ·a＝2，∴a＝ .

2

方法总结：抛物线 y＝a(x－h)2 的顶点坐标为(h，0)，对称轴是直线 x＝h.

【类型二】二次函数 y＝a(x－h)2 增减性的判断

对于二次函数 y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )

1. y随 x的增大而增大

2. 当 x＞0 时，y随 x的增大而增大

3. 当 x＞－1 时，y随 x的增大而增大

4. 当 x＞1 时，y随 x的增大而增大

解析：由于 a＝9＞0，抛物线开口向上，而 h＝1，所以当 x＞1 时，y随 x

的增大而增大．故选 D.

【类型三】确定 y＝a(x－h)2 与 y＝ax2 的关系

1 2

能否向左或向右平移函数 y＝－ x 的图象，使得到的新的图象过点(－

2

9，－8)？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．

1 2

解：能，设平移后的函数为 y＝－

(x－h) ，将 x＝－9，y＝－8 代入得－8

2

1 2 1 2

＝－ (－9－h) ，所以 h＝－5 或 h＝－13，所以平移后的函数为 y＝－ (x＋5)

2 2

或 y＝－

1(x＋13)2.即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以向左平移 5

2

或 13 个单位．

方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移 h个单位后，a不变，括号内变“减去 h”；若向左平移 h个单位，括号内应“加上 h”，即“左加右减”．

【类型四】y＝a(x－h)2 的图象与几何图形的综合

1 2

把函数 y＝

x 的图象向右平移 4 个单位后，其顶点为 C，并与直线 y

2

＝x分别相交于 A、B两点(点 A在点 B的左边)，求△ABC的面积．

解析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定 C点坐标， 再解由得到的二次函数解析式与 y＝x组成的方程组，确定 A、B两点的坐标，最 后求△ABC的面积．

解：平移后的函数为 y＝1

2

(x－4)2 ，顶点 C的坐标为(4，0)，解方程组

1 2

y＝ （x－4） ，

x＝2，

x＝8，

2

y＝x，

得 或

y＝2，

y＝8.

∵点 A在点 B的左边，∴A(2，2)，B(8，

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8)．∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝

OC×8－ OC×2＝12.

2 2

方法总结：两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数 y＝a(x－h)2

的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.