人教版九年级上册22.1.1 二次函数教学设计

第 3 课时 二次函数 y＝a(x－h)2＋k的图象和性质

1. 会用描点法画出 y＝a(x－h)2＋k的图象．

2. 掌握形如 y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．

3. 理解二次函数 y＝a(x－h)2＋k与 y＝ax2 之间的联系．

一、情境导入

对于二次函数 y＝(x－1)2＋2 的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗？你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗？

二、合作探究

探究点一：二次函数 y＝a(x－h)2＋k的图象和性质

【类型一】二次函数 y＝a(x－h)2＋k的图象

求二次函数 y＝x2－2x－1 的顶点坐标、对称轴及其最值．

解析：把二次函数 y＝x2－2x－1 化为 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会    很快求出二次函数 y＝x2－2x－1 的顶点坐标及对称轴．

解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，   对称轴是直线 x＝1.当 x＝1 时，y最小值＝－2.

方法总结：把二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形

式常用的方法是配方法和公式法．

【类型二】二次函数 y＝a(x－h)2＋k的性质

如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1 是对称轴，

有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，

3

( ，y2)是抛物线上两点，则 y1>y2.其中正确的是( )

2

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④

解析：∵－

b

＝－1，∴b＝2a，即 b－2a＝0，∴①正确；∵当 x＝－2 时点

2a

在 x轴的上方，即 4a－2b＋c>0，②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，

∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵抛物线是

3

轴对称图形，点(－3，y1)到对称轴 x＝－1 的距离小于点( ，y)2  到对称轴的距离，

2

即 y1>y2，∴④正确．综上所述，选 B.

方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由 a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了 a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线

的对称轴是 x＝－

b

；当 x＝2 时，二次函数的函数值为 y＝4a＋2b＋c；函数的

2a

图象在 x轴上方时，y>0，函数的图象在 x轴下方时，y<0.

【类型三】利用平移确定 y＝a(x－h)2＋k的解析式

1 2

将抛物线 y＝

x 向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得的抛

3

物线是( )

1 2 1 2

A．y＝ (x－2) －1 B．y＝ (x－2) ＋1

3 3

1 2 1 2

C．y＝ (x＋2) ＋1 D．y＝ (x＋2) －1

3 3

1 2

解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线 y＝

x 向下平移 1 个单

3

1 2

位所得抛物线的解析式为：y＝

x－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛

3

1 2 1 2

物线 y＝ x－1 向右平移 2 个单位所得抛物线的解析式为 y＝ (x－2) －1，故选

3 3

A.

探究点二：二次函数 y＝a(x－h)2＋k的应用

【类型一】y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合

   如图，在平面直角坐标系中，点 A在第二象限，以 A为顶点的抛物线经过原点，与 x轴负半轴交于点 B，对称轴为直线 x＝－2，点 C在抛物线上，且

位于点 A、B之间(C不与 A、B重合)．若△ABC的周长为 a，则四边形 AOBC的周长为               ．(用含 a的式子表示)

解析：如图，∵对称轴为直线 x＝－2，抛物线经过原点，与 x轴负半轴交 于点 B，∴OB＝4，∵由抛物线的对称性知 AB＝AO，∴四边形 AOBC的周长为 AO

＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.

方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质， 将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．

【类型二】二次函数 y＝a(x－h)2＋k的实际应用

   心理学家发现，学生对概念的接受能力 y与提出概念所用的时间 x(分

钟)之间满足函数 y＝－ 1

(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力

10

越强．

(1) x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

(2) 第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？

解：(1)0≤x≤13 时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30 时，学生的接受能力逐步降低．

(2)当 x＝10 时，y＝－ 1 (10－13)2＋59.9＝59.故第 10 分钟时，学生的接

10

受能力是 59.

(3) 当 x＝13 时，y值最大，是 59.9，故第 13 分钟时，学生的接受能力最强．

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数 y＝a(x－h)2

＋k 的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.