2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何知识点基础练习卷

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何知识点基础练习卷，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何知识点基础练习卷一、选择题下列结论中正确的是  A． 长的有向线段不可能表示单位向量 B．若 是直线 上的一点，单位长度已选定，则 上有且只有两个点 ，，使得 ， 是单位向量 C．方向为北偏西 的向量与南偏东 的向量不可能是平行向量 D．一人从 点向东走 到达 点，则向量 不能表示这个人从 点到 点的位移 下列图形中不一定是平面图形的是  A．三角形 B．菱形 C．梯形 D．四边相等的四边形 如图所示的图形中有  A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥 C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球 在长方体 中，， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为  A．  B．  C．  D．  在 中，，，，以边 所在的直线为轴，将 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为  A．  B．  C．  D．  给出下列条件（其中 为直线， 为平面）：① 垂直于 内三条不都平行的直线；② 垂直于 内无数条直线；③ 垂直于 内正六边形的三条边．其中能得出 的所有条件序号是  A．② B．① C．①③ D．③ 如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ，，，则下列向量中与 相等的向量是  A．  B．  C．  D．  在四面体 中，，， 两两互相垂直，且 ，点 是 的中点，设异面直线 与 所成的角为 ，且 ，则该四面体的体积为  A．  B．  C．  D．  二、多选题已知四边形 是等腰梯形（如图 ），，，，．将 沿 折起，使得 （如图 ），连接 ，，设 是 的中点．下列结论中正确的是  A．  B．点 到平面 的距离为  C．  D．四面体 的外接球表面积为  下列四个命题，其中正确的是  A．棱台的所有侧棱延长后交于一点 B．多面体至少有四个面 C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 已知正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 ，则下列叙述正确的是  A．正三棱锥的高为  B．正三棱锥的斜高为  C．正三棱锥的体积为  D．正三棱锥的侧面积为  如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器一边 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是  A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面 所在四边形的面积为定值 C．随着容器倾斜度的不同， 始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图③所示时， 为定值 三、填空题直线在平面内的概念如果直线 上的    都在平面 内，就说直线 在平面 内，或者说平面 经过直线 ． 已知球的半径为 ，则它的体积为    ． 若球主视图的面积为 ，则该球的体积等于    ． 已知某四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图是一边长为 的正三角形，则该四棱锥的体积为    ；最长棱的长度为    ． 四、解答题如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，，，， 分别是 ， 的中点．(1)  求异面直线 与 所成角的余弦值；(2)  求二面角 的余弦值． 应用面面平行判断定理应具备哪些条件？ 如图，在直三棱柱 中，， 是 的中点，．（）求证：；（）若异面直线 和 所成角的余弦值为 ，求四棱锥 的体积． 棱柱的结构特征．思考：棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 已知空间中三点 ，，，设 ，．(1)  若 ，且 ，求向量 ；(2)  求向量 与向量 的夹角的余弦值． 如图， 是以 为直径的半圆弧上异于 ， 的点，矩形 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且 ．(1)  求证：；(2)  设平面 与半圆弧的另一个交点为 ．①求证：；②若 ，求三棱锥 的体积．
答案一、选择题1.  【答案】B【解析】只有B正确．当一个单位长度取作 时， 长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误．【知识点】平面的法向量与平面的向量表示 2.  【答案】C【知识点】平面的概念与基本性质 3.  【答案】B【解析】根据题中图形可知，（）是球，（）是圆柱，（）是圆锥，（）不是圆台．【知识点】典型空间几何体 4.  【答案】C【解析】连接 ，因为 ，所以 ，，所以 为直角三角形．又 ，所以 ．又 ，所以 ，故该长方体的体积 ．【知识点】线面角 5.  【答案】B【知识点】圆锥的表面积与体积 6.  【答案】C【知识点】直线与平面平行关系的判定 7.  【答案】A【解析】因为 ，因为 ，所以  【知识点】空间向量基本定理 8.  【答案】A【解析】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设 ，则 ，，，，所以 ，，所以 ，所以 （负值舍去），所以该四面体的体积为 ．【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 二、多选题9.  【答案】B；D【解析】对选项A，在图 中，过 作 ，如图所示：因为 ，所以四边形 是矩形，因为 ，所以 ．因为四边形 是等腰梯形，，所以 ．因为 ，所以 ．连接 ，则 ，因为 ，所以 ，得 ，则 ．在图 中，因为 ，，，所以 ．因为 ，所以 ．因为 ，所以 ．若 ，又 ，，所以 ，过一点 与 垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾．故A错误；由 ，，得 ，又 ，所以 ，而 ，因为 到平面 的距离等于 到平面 的距离，设点 到平面 的距离为 ，由 ，得 ，即 ，故B正确；假设 ，因为 ，，，所以 ，又因为 ，所以 ，与已知条件矛后，故C错误：对选项D，连接 ，如图所示：因为 ， 为直角三角形，且 为 的中点，所以 ，即 为四面体 的外接球的球心．所以四面体 的外接球的半径为 ，则四面体 的外接球表面积为 ，故D正确．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 10.  【答案】A；B【解析】对于选项 A，利用棱台的定义和特殊几何体加以说明，棱台可以“还原”成棱锥，即侧棱延长后一定相交，故A正确；对于选项B，显然要构成空间几何体至少需有四个顶点（不在同一个面上），当有三个顶点时，只能围成一个平面图形，当有四个顶点（不在同一个面上）时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故选项B正确；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以选项C错误；若两底面根本就不相似，则该六面体不是棱台，所以选项D错误．【知识点】空间几何体的结构特征 11.  【答案】A；B【解析】根据题意设该正三棱锥为 ，取 的中点 ，连接 ，设 为 的中心，则 在 上，连接 ，则 ，易知 ，则 ，，所以正三棱锥的高 ，故A正确；正三棱锥的斜高为 ，故B正确；正三棱锥的体积为 ，故C错误；正三棱锥的侧面积为 ，故D错误．【知识点】棱锥的表面积与体积 12.  【答案】A；D【解析】由于 固定，所以在倾斜的过程中，始终有 ，且 ，故水的部分始终呈棱柱形（三棱柱或四棱柱），且 为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A正确；因为水面 所在四边形，从图②，图③可以看出，， 长度不变，而 ， 的长度随倾斜度变化而变化，所以水面 所在四边形的面积是变化的，故B错；假设 与水面所在的平面始终平行，又 与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面 与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C错；水量不变时，棱柱 的体积是定值，又该棱柱的高 不变，且 ，所以 ，即 是定值，故D正确．【知识点】棱柱的截面分析 三、填空题13.  【答案】所有点【知识点】平面的概念与基本性质 14.  【答案】 【知识点】球的表面积与体积 15.  【答案】 【知识点】球的表面积与体积、三视图 16.  【答案】 ； 【解析】由三视图可知四棱锥的直观图如图所示，且由三视图知该四棱锥的底面是一个上底为 、下底为 、高为 的直角梯形，， 是边长为 的正三角形，所以四棱锥 的高为 ，所以四棱锥 的体积为 ．易知 ，，，，所以最长棱的长度为 ．【知识点】三视图、棱锥的表面积与体积 四、解答题17.  【答案】(1)  如图，以 为坐标原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，所以 ，．所以 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．(2)  平面 的一个法向量为 ．设平面 的一个法向量为 ．因为 ，，由 ， 得，  不妨取 ，则 ，，所以 ，所以 ，所以二面角 的余弦值为 ．【知识点】二面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 18.  【答案】①平面 内两条相交直线 ，，即 ，，．②两条相交直线 ， 都与 平行，即 ，．【知识点】平面与平面平行关系的判定 19.  【答案】（）取 的中点 ，连接 ，，，在直三棱柱 中，四边形 为平行四边形，又 是 的中点，所以 ，，所以四边形 是平行四边形，所以 ，又 ，，所以 ，因为 ，，所以四边形 是平行四边形，所以 ，又 ，，所以 ，又 ，，所以 ，又 ，所以 ；（）过 作 于 ，因为 ，，所以 ，又 ，，所以 ，因为 ， 为锐角，所以 为异面直线 和 所成的角，所以由条件知 ，在 中，，，，，，又 ，，，所以  【知识点】异面直线所成的角 20.  【答案】棱柱的侧面一定是平行四边形． 【知识点】棱柱的结构特征 21.  【答案】(1)  因为 ，，所以 ，因为 ，所以 ，所以 或 ．(2)  因为 ，，所以 ，又因为 ，，所以 ，即向量 与向量 的夹角的余弦值为 ．【知识点】空间向量的数量积运算、空间向量的数乘运算 22.  【答案】(1)  因为 是半圆上异于 ， 的点，所以 ，又因为平面 ，且 ，由面面垂直性质定理得 ，又 ，所以 ．因为 ，所以 ．又 ，所以 ． (2)  ①由 ，得 ，又因为平面 ，所以根据线面平行的性质定理得 ，又 ，所以 ．② ． 【知识点】空间中直线与直线的垂直、棱锥的表面积与体积、直线与平面平行关系的性质