1．下列选项中的曲线与eq \f(x2,12)－eq \f(y2,24)＝1共焦点的双曲线是( )
A.eq \f(x2,24)－eq \f(y2,12)＝2 B.eq \f(y2,24)－eq \f(x2,12)＝1
C.eq \f(y2,26)－eq \f(x2,10)＝1 D.eq \f(x2,10)－eq \f(y2,26)＝1
解析：选D 与eq \f(x2,12)－eq \f(y2,24)＝1共焦点的双曲线系方程为eq \f(x2,12＋λ)－eq \f(y2,24－λ)＝1(－12＜λ＜24)，对比四个选项，只有D符合条件(此时λ＝－2)．
2．(多选)设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．5 B．3
C．7 D．6
解析：选BC 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝±2a，即5－|PF2|＝±2，所以|PF2|＝3或|PF2|＝7.故选B、C.
3．若椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)与双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,2)＝1(m>0)有相同的焦点，则m的值是( )
A.eq \f(1,2) B．1或2
C．1或eq \f(1,2) D．1
解析：选D 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(00），,4－m2＝m2＋2，))解得m＝1.
4．(多选)已知方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是( )
A．当1B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
解析：选BCD A错误，当t＝eq \f(5,2)时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，∴10，))∴t>4.
5．以椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1的焦点为顶点，长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )
A.eq \f(x2,3)－y2＝1 B．y2－eq \f(x2,3)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,3)－eq \f(x2,4)＝1
解析：选B 椭圆的焦点为(0，1)，(0，－1)，长轴端点为(0，2)，(0，－2)，故在双曲线中a＝1，c＝2，故b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线的标准方程为y2－eq \f(x2,3)＝1.
6．设m是常数，若点F(0，5)是双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,9)＝1的一个焦点，则m＝________．
解析：由点F(0，5)可知该双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,9)＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案：16
7．经过点P(－3，2eq \r(7))和Q(－6eq \r(2)，－7)的双曲线的标准方程是________．
解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25)，))
故双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
答案：eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1
8．若方程eq \f(y2,4)－eq \f(x2,m＋1)＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________；若表示椭圆，则m的取值范围是________．
解析：若表示双曲线，则应有m＋1>0，即m>－1.若表示椭圆，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1<0，,m＋1≠－4，))解得m<－1且m≠－5.
答案：(－1，＋∞) (－∞，－5)∪(－5，－1)
9．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6eq \r(3)，试判断△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆方程可化为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，焦点在x轴上，且c＝eq \r(9－4)＝eq \r(5)，故设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,a2＋b2＝5，))
解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2eq \r(3)，
又|MF1|＋|MF2|＝6eq \r(3)，
解得|MF1|＝4eq \r(3)，|MF2|＝2eq \r(3)，又|F1F2|＝2eq \r(5)，
因此在△MF1F2中，MF1边最长，
而cs∠MF2F1＝eq \f(|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2,2|MF2||F1F2|)<0，
所以∠MF2F1为钝角，
故△MF1F2为钝角三角形．
10.如图，在△ABC中，已知|AB|＝4eq \r(2)，内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．
解：以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)．
设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理得sin A＝eq \f(|CB|,2R)，
sin B＝eq \f(|CA|,2R)，sin C＝eq \f(|AB|,2R).
∵2sin A＋sin C＝2sin B，
∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|，
∴|CA|－|CB|＝eq \f(1,2)|AB|＝2eq \r(2)＜|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，∴b2＝c2－a2＝6.
∴顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x＞eq \r(2))．
[B级综合运用]
11．(多选)过点(1，1)，且eq \f(b,a)＝eq \r(2)的双曲线的标准方程可以是( )
A.eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1 B.eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1
C．x2－eq \f(y2,\f(1,2))＝1 D．y2－eq \f(x2,\f(1,2))＝1
解析：选AB 由于eq \f(b,a)＝eq \r(2)，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2a2)＝1，代入(1，1)点，得a2＝eq \f(1,2).此时双曲线方程为eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1.
12．如图所示，F为双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1，2，3)关于y轴对称，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|－|P4F|－|P5F|－|P6F|的值是( )
A．9 B．16
C．18 D．27
解析：选C 设右焦点为F′.
∵双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1，2，3)关于y轴对称，
∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称，
∴|FP1|＝|F′P6|，|FP2|＝|F′P5|，|FP3|＝|F′P4|.
∵|F′P6|－|P6F|＝2a＝6，|F′P5|－|P5F|＝2a＝6，
|F′P4|－|P4F|＝2a＝6，
∴|P1F|＋|P2F|＋|P3F|－|P4F|－|P5F|－|P6F|＝(|F′P6|－|P6F|)＋(|F′P5|－|P5F|)＋(|F′P4|－|P4F|)＝18.故选C.
13．设点P在双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________，cs∠F1PF2＝________．
解析：由题意知|F1F2|＝2eq \r(9＋16)＝10，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，∴△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(9＋81－100,2×3×9)＝－eq \f(5,27).
答案：22 －eq \f(5,27)
14．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围内的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
解：(1)当k＝0时，y2＝4，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径长为2的圆；
(3)当k<0时，方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,－\f(4,k))＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0(5)当k>1时，方程为eq \f(x2,\f(4,k))＋eq \f(y2,4)＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
[C级拓展探究]
15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C′：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，求光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长．
解：光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，设F1，F2分别为双曲线与椭圆的左、右焦点，
如图，则有|BF2|＝2m＋|BF1|，|BF1|＋|BA|＋|AF1|＝|BF2|－2m＋|BA|＋|AF1|＝|AF2|＋|AF1|－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m)．