苏教版 (2019)3.2 双曲线达标测试

这是一份苏教版 (2019)3.2 双曲线达标测试，共6页。
1．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( )
A．(1，2) B．(－2，－1)
C．(－1，－2) D．(2，1)
解析：选C 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,2x2－y2＝3))得x2＋2x－4＝0，因为Δ＝22－4×1×(－4)＞0，所以直线与双曲线有两个不同交点．设两个交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则x1＋x2＝－2，
故x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝－1，y0＝x0－1＝－2，因此AB的中点坐标为(－1，－2)．
2．已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)
解析：选D 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，将x＝2代入x2－eq \f(y2,3)＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.又A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为eq \f(1,2)×3×(2－1)＝eq \f(3,2).
3．已知双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，与直线y＝eq \f(1,2)x交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(15)，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
解析：选B 双曲线的方程x2－y2＝a2(a＞0)与直线方程y＝eq \f(1,2)x联立，得eq \f(3,4)x2＝a2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝0，x1·x2＝－eq \f(4a2,3)，
∴|AB|＝ eq \r(（y1－y2）2＋（x1－x2）2)＝ eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))×eq \f(4\r(3),3)a＝2eq \r(15)，∴a＝3，故选B.
4．已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是( )
A．4 B．6
C．8 D．16
解析：选C 设F2为双曲线的右焦点，因为|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，所以|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝8＋|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|≥8，当且仅当P1，F1，F2三点共线时等号成立，故选C.
5．(多选)已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则实数m可以是下列数据中的( )
A．2 B．－1
C．4 D．－3
解析：选AB 设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则c＝3.∵2a＜2c＝6，∴|2m－1|＜6，且|2m－1|≠0，∴－eq \f(5,2)＜m＜eq \f(7,2)且m≠eq \f(1,2)，∴A、B满足条件．故选A、B.
6．已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：如图所示，F(－4，0)，设F′为双曲线的右焦点，则F′(4，0)，点A(1，4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，得|PF|－|PF′|＝2a＝4，而|PF|＋|PA|＝|PF|－|PF′|＋|PF′|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝4＋5＝9，当且仅当A，P，F′三点共线时取等号．
答案：9
7．已知直线l：y＝kx－1与双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1有且只有一个公共点，则k＝________．
解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,\f(x2,4)－\f(y2,9)＝1))得(9－4k2)x2＋8kx－40＝0，(*)
当9－4k2＝0，即k＝±eq \f(3,2)时，方程(*)有唯一解符合题意；当9－4k2≠0，需Δ＝64k2＋160(9－4k2)＝0，解得k＝±eq \f(\r(10),2)，故k＝±eq \f(3,2)或±eq \f(\r(10),2).
答案：±eq \f(3,2)或±eq \f(\r(10),2)
8．已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则另一个焦点F的轨迹是________________________．
解析：∵A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，
∴|FA|＋|CA|＝2a，
|FB|＋|CB|＝2a，
∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，
∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝eq \r(122＋92)－eq \r(122＋52)＝2＜|AB|＝14，
∴点F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下半支．
答案：以A，B为焦点的双曲线的下半支
9.如图，过双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.
解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．
因为直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2，所以直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－3)．①
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(\r(3),3)（x－3），,\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1))消去y，得5x2＋6x－27＝0.
解得x1＝－3，x2＝eq \f(9,5).将x1，x2的值分别代入①，得y1＝－2eq \r(3)，y2＝－eq \f(2\r(3),5).
于是，A，B两点的坐标分别为(－3，－2eq \r(3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)，－\f(2\r(3),5))).
所以|AB|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝
eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3－\f(9,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2\r(3)＋\f(2\r(3),5)))\s\up12(2))＝eq \f(16\r(3),5).
10.如图，某农场在P处有一堆肥料，现要把这堆肥料沿小道PA或PB经过A或B稍稍休息后再沿直线送到AB另一侧的大田ABCD中去．现测得|PA|＝2 km，|PB|＝4 km，∠APB＝60°.
在大田中一定存在一条界线S，满足界线S上的点由小道PA或PB送肥料的距离相等，证明此界线S在一条确定的曲线上．以AB所在直线为x轴、AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，写出界线S的方程．
解：建立题设的平面直角坐标系，如图，设M(x，y)(y＞0) 为界线上任意一点，则依题意有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PA|＝2，,|PB|＝4，,|AB|＝ \r(|PA|2＋|PB|2－2|PA||PB|cs 60°)，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|MA|－|MB|＝2，,|AB|＝2\r(3).))
所以M在双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1(x＞0，y＞0)上．
即界线S的方程为x2－eq \f(y2,2)＝1(x＞0，y＞0)．
[B级 综合运用]
11．已知方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－1，eq \r(3))
C．(0，3) D．(0，eq \r(3))
解析：选A ∵双曲线eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1的两焦点间的焦距为4，
当焦点在x轴上时，应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(22＝m2＋n＋3m2－n，,3m2－n＞0，,m2＋n＞0.))
解得－1＜n＜3.
当焦点在y轴上时，应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(22＝－m2－n－3m2＋n，,3m2－n＜0，,m2＋n＜0.))
此不等式组无解，故选A.
12．设F1，F2是双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，eq \(PF1,\s\up6(―→))·eq \(PF2,\s\up6(―→))的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选B 设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|＝2eq \r(3＋1)＝4，S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1.又eq \f(xeq \\al(2,0),3)－yeq \\al(2,0)＝1，∴xeq \\al(2,0)＝3(yeq \\al(2,0)＋1)＝6.∴eq \(PF1,\s\up6(―→))·eq \(PF2,\s\up6(―→))＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－4＝3.
13.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为____________．
解析：设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2，0)，C(2，3)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝a2＋b2，,\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,b2＝3，))
∴双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
答案：x2－eq \f(y2,3)＝1
14．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
解：双曲线方程可化为eq \f(x2,1)－eq \f(y2,3)＝1，故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2(2，0)，又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－eq \f(7,2)＜0.
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－eq \f(7,2)，
∴|AB|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(2)·eq \r(（－2）2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2))))＝6.
[C级 拓展探究]
15.如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．
解：法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)，D(0，2)，P(eq \r(3)，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝eq \r(（2＋\r(3)）2＋12)－eq \r(（2－\r(3)）2＋12)＝2eq \r(2)＜|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
则c＝2，2a＝2eq \r(2)，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
故曲线C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＜|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(（\r(3)）2,a2)－\f(1,b2)＝1，,a2＋b2＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝2，,b2＝2.))
故曲线C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.