苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线第2课时教案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线第2课时教案，共13页。教案主要包含了双曲线方程的设法， 双曲线定义的应用，直线与双曲线的位置关系等内容，欢迎下载使用。

一、双曲线方程的设法
例1 (1)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3eq \r(2)，2)；
(2)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上．
解 (1)方法一 ∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(3eq \r(2)，2)，
∴eq \f(18,a2)－eq \f(4,b2)＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.
方法二 设所求双曲线的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3eq \r(2)，2)，
∴eq \f(18,16－λ)－eq \f(4,4＋λ)＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.
(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1.
反思感悟 (1)若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
(2)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq \f(x2,a2＋λ)＋eq \f(y2,b2＋λ)＝1(－a2<λ<－b2)；与椭圆eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq \f(y2,a2＋λ)＋eq \f(x2,b2＋λ)＝1(－a2<λ<－b2)．
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq \f(x2,a2＋λ)－eq \f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq \f(y2,a2＋λ)－eq \f(x2,b2－λ)＝1(－a2<λ跟踪训练1 已知与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共焦点的双曲线过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))，求该双曲线的标准方程．
解 方法一 已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，
由c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，所以c＝5.
设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
依题意知b2＝25－a2，
故所求双曲线方程可写为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,25－a2)＝1.
因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))在所求双曲线上，
所以eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)))2,a2)－eq \f(－\r(6)2,25－a2)＝1，化简得4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝eq \f(125,4).
当a2＝eq \f(125,4)时，b2＝25－a2＝25－eq \f(125,4)＝－eq \f(25,4)<0，
不符合题意，舍去，所以a2＝1，b2＝24，
所以所求双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,24)＝1.
方法二 设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,16＋λ)－eq \f(y2,9－λ)＝1(－16<λ<9)，因为点P在双曲线上，则eq \f(5,416＋λ)－eq \f(6,9－λ)＝1，解得λ＝－15，所以双曲线的方程为x2－eq \f(y2,24)＝1.
二、 双曲线定义的应用
例2 已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32.试求△F1PF2的面积．
解 因为P是双曲线左支上的点，所以PF2－PF1＝6，两边平方得PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)－2PF1·PF2＝36，所以PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cs∠F1PF2＝eq \f(PF\\al(2,1)＋PF\\al(2,2)－F1F\\al(2,2),2PF1·PF2)＝eq \f(100－100,2PF1·PF2)＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以＝eq \f(1,2)PF1·PF2＝eq \f(1,2)×32＝16.
延伸探究
1．若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离．
解 由双曲线的标准方程eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线定义得|PF1－PF2|＝2a＝6，
∴|10－PF2|＝6，
解得PF2＝4或PF2＝16.
2．若本例条件“PF1·PF2＝32”改成“PF1∶PF2＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
解 由PF1∶PF2＝2∶5，
PF2－PF1＝6，
可知PF2＝10，PF1＝4，PF1上的高为eq \r(100－4)＝4eq \r(6)，
∴＝eq \f(1,2)×4×4eq \r(6)＝8eq \r(6).
3．本例中，将条件“PF1·PF2＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
解 由eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得PF1－PF2＝－6，
F1Feq \\al(2,2)＝PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)－2PF1·PF2cs 60°，
∴102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，
∴PF1·PF2＝64，
∴＝eq \f(1,2)PF1·PF2·sin ∠F1PF2
＝eq \f(1,2)×64×eq \f(\r(3),2)＝16eq \r(3).
反思感悟 求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；
③通过配方，整体的思想求出PF1·PF2的值；
④利用公式＝eq \f(1,2)×PF1·PF2·sin∠F1PF2求得面积．
(2)利用公式＝eq \f(1,2)×F1F2×|yP|求得面积．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上，则eq \f(sin A－sin B,sin C)等于( )
A.eq \f(3,5) B．±eq \f(3,5) C．－eq \f(4,5) D．±eq \f(4,5)
答案 D
解析 在△ABC中，sin A＝eq \f(BC,2R)，sin B＝eq \f(AC,2R)，sin C＝eq \f(AB,2R)＝eq \f(10,2R)(其中R为△ABC外接圆的半径)．
∴eq \f(sin A－sin B,sin C)＝eq \f(\f(BC－AC,2R),\f(10,2R))＝eq \f(BC－AC,10).
又∵BC－AC＝±8，
∴eq \f(sin A－sin B,sin C)＝±eq \f(8,10)＝±eq \f(4,5).
(2)已知A(－4,0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,7)＝1的右支上，则PA＋PB的最小值为( )
A．9 B．2eq \r(5)＋6 C．10 D．12
答案 C
解析 设点C(1,4)，点B在圆上，
则PB≥PC－r＝PC－1，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，
设A′为双曲线右焦点，
所以由双曲线定义知PA＝PA′＋2a＝PA′＋6，
所以PA＋PB＝PA′＋PB＋6≥PA′＋PC＋6－1≥A′C＋5＝5＋5＝10.
三、直线与双曲线的位置关系
例3 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围．
解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3k2>0，,1－k2≠0，))得－eq \f(2\r(3),3)此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点．
反思感悟 判断直线与双曲线的位置关系或求直线与双曲线交点时可采用代数法，将直线方程和双曲线方程联立求解，一解一个公共点；两解两个公共点，相交．
跟踪训练3 已知双曲线C：x2－eq \f(y2,4)＝1，直线l：y＝x，求直线l与双曲线C的交点坐标．
解 将直线l与双曲线方程联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x2－\f(y2,4)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2\r(3),3)，,y＝\f(2\r(3),3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2\r(3),3)，,y＝－\f(2\r(3),3)，))∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，－\f(2\r(3),3))).
1．知识清单：
(1)双曲线定义的应用．
(2)求双曲线的标准方程．
(3)直线与双曲线的位置关系．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错．
1.如图，双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,10)＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则P2F1－P1F1的值是( )
A．3 B．4
C．6 D．8
答案 C
解析 如图所示，设双曲线的右焦点为F2，连接P2F2，因为双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，根据双曲线的对称性，可得P1F1＝P2F2，所以P2F1－P1F1＝P2F1－P2F2＝2×3＝6.
2．已知动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≤3) D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)
答案 D
解析 由题意知，动点P的轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支，由c＝5，a＝3，知b2＝16，所以P点的轨迹方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)．
3．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2等于____________．
答案 4
解析 在△PF1F2中，
F1Feq \\al(2,2)＝PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)－2PF1·PF2·cs 60°＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，即(2eq \r(2))2＝22＋PF1·PF2，
解得PF1·PF2＝4.
4．直线y＝2x＋1与双曲线x2－eq \f(y2,9)＝1有______个交点．
答案 2
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋1，,x2－\f(y2,9)＝1，))消去y，得9x2－(2x＋1)2＝9，整理得5x2－4x－10＝0，Δ＝16＋4×5×10>0，
∴直线y＝2x＋1与双曲线x2－eq \f(y2,9)＝1有2个交点．
课时对点练
1．与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1共焦点，且过点(－2，eq \r(10))的双曲线方程为( )
A.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(y2,5)－eq \f(x2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,3)＝1
答案 B
解析 方法一 由题意得椭圆的焦点为(0,3)，(0，－3)，
所以双曲线的焦点为(0,3)，(0，－3)，
设双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝9，,\f(10,a2)－\f(4,b2)＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝5，,b2＝4.))
所以双曲线的方程为eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1.
方法二 设双曲线的方程为eq \f(x2,16＋λ)＋eq \f(y2,25＋λ)＝1(－25<λ<－16)，
又因为双曲线过点(－2，eq \r(10))，
可得eq \f(4,λ＋16)＋eq \f(10,25＋λ)＝1，
解得λ＝－7(舍去)或λ＝－20.
所以双曲线的方程为eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1.
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2＝90°，且AF1＝2AF2＝4，则双曲线的方程为( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
答案 A
解析 由题意，根据双曲线的定义及AF1＝2AF2＝4，
可得AF1－AF2＝2＝2a，解得a＝1，
因为∠F1AF2＝90°，
所以F1Feq \\al(2,2)＝AFeq \\al(2,1)＋AFeq \\al(2,2)＝20，
即(2c)2＝20，即c2＝5，
又b2＋a2＝c2，则b2＝c2－a2＝4，
所以双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
3．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A．x2－eq \f(y2,8)＝1(x<－1) B．x2－eq \f(y2,8)＝1(x>1)
C．x2＋eq \f(y2,8)＝1(x>0) D．x2－eq \f(y2,10)＝1(x>1)
答案 B
解析 PM－PN＝BM－BN＝2<6＝MN，
所以P点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去点(1,0))，且a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8，所以P点的轨迹方程是x2－eq \f(y2,8)＝1(x>1)．
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cs∠F1PF2等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 由双曲线的定义知，PF1－PF2＝2eq \r(2)，
又PF1＝2PF2，
所以PF2＝2eq \r(2)，PF1＝4eq \r(2)，F1F2＝2c＝2eq \r(a2＋b2)＝4.
所以cs∠F1PF2＝eq \f(PF\\al(2,1)＋PF\\al(2,2)－F1F\\al(2,2),2PF1·PF2)
＝eq \f(32＋8－16,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq \f(24,32)＝eq \f(3,4).
5．已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为( )
A．5 B．6 C．8 D．9
答案 D
解析 对于双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，a＝2，b＝2eq \r(3)，c＝4，如图所示，
设双曲线的右焦点为M，则M(4,0)，
由双曲线的定义可得PF－PM＝4，
则PF＝4＋PM，
所以PF＋PA＝PM＋PA＋4≥AM＋4＝eq \r(1－42＋4－02)＋4＝9，
当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立．
因此PF＋PA的最小值为9.
6.若A，B，C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6 km，C在A的北偏东30°，两地相距4 km，在某一时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为1 km/s,4 s后A，C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点P的坐标是( )
A．(8,5eq \r(3)) B．(－8,5eq \r(3))
C．(8，－5eq \r(3)) D．(－8，－5eq \r(3))
答案 B
解析 由题意知，点A(3,0)，B(－3,0)，C(5,2eq \r(3))，
则线段AC的中点为(4，eq \r(3))，
直线AC的斜率kAC＝eq \f(2\r(3),5－3)＝eq \r(3)，
所以线段AC的垂直平分线的斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，
所以线段AC的垂直平分线的方程为y－eq \r(3)＝－eq \f(\r(3),3)(x－4)，
即y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(7\r(3),3)，
设P(x，y)，由PA＝PC可得点P在线段AC的垂直平分线上，
又PA－PB＝4所以点P在以A，B为焦点的双曲线的左支上，
且a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5，
所以该双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≤－2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)－\f(y2,5)＝1，,x≤－2，,y＝－\f(\r(3),3)x＋\f(7\r(3),3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－8，,y＝5\r(3).))
所以点P的坐标为(－8,5eq \r(3))．
7．经过点P(－3,2eq \r(7))和Q(－6eq \r(2)，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是____________．
答案 eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1
解析 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25)，))
故双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
8．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为________．
答案 (－2,2)
解析 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ>0可得－29．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝eq \f(3,4)，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
解 因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝eq \f(3,4)，
所以设PN＝3k，PM＝4k，则MN＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以PN＝12，PM＝16，MN＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由PM－PN＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由MN＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，
故所求方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,96)＝1(x>2)．
10．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
解 双曲线方程可化为x2－eq \f(y2,3)＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2(2,0)，又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－eq \f(7,2)<0，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－eq \f(7,2)，
∴AB＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(－22－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2))))＝6.
11．设椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1和双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cs∠F1PF2等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D.eq \f(3,5)
答案 B
解析 设PF1＝d1，PF2＝d2，
则d1＋d2＝2eq \r(6)，①
|d1－d2|＝2eq \r(3)，②
①2＋②2，得deq \\al(2,1)＋deq \\al(2,2)＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2，∴cs∠F1PF2＝eq \f(1,3).
12．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是( )
A.eq \f(13,14) B．－eq \f(11,14) C.eq \f(11,14) D．－eq \f(13,14)
答案 C
解析 设P(8，y0)在第一象限，eq \f(64,16)－eq \f(y\\al(2,0),9)＝1⇒y0＝3eq \r(3)，
PF2＝eq \r(8－52＋3\r(3)2)＝6，
PF1＝6＋8＝14，F1F2＝10，cs∠F1PF2＝eq \f(142＋62－102,2×14×6)＝eq \f(11,14).
13．(多选)已知点P在双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有( )
A．点P到x轴的距离为eq \f(20,3)
B．PF1＋PF2＝eq \f(50,3)
C．△PF1F2为钝角三角形
D．∠F1PF2＝eq \f(π,3)
答案 BC
解析 因为双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，所以c＝eq \r(16＋9)＝5.又因为＝eq \f(1,2)·2c|yP|＝eq \f(1,2)·10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误；
将|yP|＝4代入C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1得eq \f(x2,16)－eq \f(42,9)＝1，即|xP|＝eq \f(20,3).由对称性，不妨取P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)，4))，可知PF2＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)－5))2＋42)＝eq \f(13,3).由双曲线定义可知PF1＝PF2＋2a＝eq \f(13,3)＋8＝eq \f(37,3)，所以PF1＋PF2＝eq \f(13,3)＋eq \f(37,3)＝eq \f(50,3)，所以选项B正确；
由对称性，对于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)，4))，在△PF1F2中，PF1＝eq \f(37,3)>2c＝10>PF2＝eq \f(13,3).且cs∠PF2F1＝eq \f(PF\\al(2,2)＋F1F\\al(2,2)－PF\\al(2,1),2PF2·F1F2)＝－eq \f(5,13)<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确；
由余弦定理得cs∠F1PF2＝eq \f(PF\\al(2,1)＋PF\\al(2,2)－F1F\\al(2,2),2PF1·PF2)＝eq \f(319,481)≠eq \f(1,2)，∠F1PF2≠eq \f(π,3)，所以选项D错误．
14．若双曲线eq \f(x2,n)－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足PF1＋PF2＝2eq \r(n＋2)，则△PF1F2的面积为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D．4
答案 A
解析 设点P在双曲线的右支上，
则PF1－PF2＝2eq \r(n)，已知PF1＋PF2＝2eq \r(n＋2)，
解得PF1＝eq \r(n＋2)＋eq \r(n)，PF2＝eq \r(n＋2)－eq \r(n)，
PF1·PF2＝2.又F1F2＝2eq \r(n＋1)，
则PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)＝F1Feq \\al(2,2)，
所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，
于是＝eq \f(1,2)PF1·PF2＝eq \f(1,2)×2＝1.
15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C′：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为________．
答案 2k(a－m)
解析 光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，
BF2＝2m＋BF1，
BF1＋BA＋AF1＝BF2－2m＋BA＋AF1＝AF2＋AF1－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m)．
16．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
解 设顶点A的坐标为(x，y)，则
kAB＝eq \f(y,x＋a)，kAC＝eq \f(y,x－a).
由题意，得eq \f(y,x＋a)·eq \f(y,x－a)＝m，
即eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,ma2)＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1当m<－1时，椭圆焦点在y轴上；
当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)．