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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线第1课时教案设计
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线第1课时教案设计，共13页。教案主要包含了根据双曲线方程研究几何性质，由几何性质求双曲线的标准方程，求双曲线的离心率等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.掌握双曲线的几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．
导语
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质．
一、根据双曲线方程研究几何性质
知识梳理
1．双曲线的几何性质
2.双曲线的中心和等轴双曲线
(1)双曲线的中心
双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其离心率e＝eq \r(2).
注意点：
(1)等轴双曲线的离心率为eq \r(2)，渐近线方程为y＝±x.
(2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)利用渐近线可以较准确的画双曲线的草图．
(5)双曲线上的点到焦点的最小值为c－a.
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
解 双曲线的方程化为标准形式是eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝eq \r(13).
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－eq \r(13)，0)，(eq \r(13)，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x.
延伸探究
1．把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？
解 把方程9y2－4x2＝36化为标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1，这里a2＝4，b2＝9，c2＝13.焦点在y轴上．所以顶点坐标为(0,2)，(0，－2)，
焦点坐标为(0，eq \r(13))，(0，－eq \r(13))，实轴长2a＝4，
虚轴长2b＝6，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),2)，渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \f(2,3)x.
2．把本例方程“9y2－4x2＝－36”改为“4x2－9y2＝－4”，它的性质又如何？
解 方程4x2－9y2＝－4可化为标准方程eq \f(y2,\f(4,9))－x2＝1，焦点在y轴上，这里a2＝eq \f(4,9)，b2＝1，c2＝eq \f(4,9)＋1＝eq \f(13,9).
所以顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(2,3))).
焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(13),3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(13),3))).
实轴长2a＝eq \f(4,3)，虚轴长2b＝2.
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),2).
渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \f(2,3)x.
反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为
eq \f(y2,42)－eq \f(x2,32)＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(42＋32)＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)；渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.
二、由几何性质求双曲线的标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为eq \f(5,3)；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．
解 (1)设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，从而b＝4，c＝eq \f(5,3)a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
(2)由两顶点间的距离是6得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1.
反思感悟 由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)；
(2)焦点在x轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(－5,3)．
解 (1)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1.
(2)∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，
∴c＝eq \r(2)a，b2＝c2－a2＝a2.
又∵焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1(a＞0)．
把点(－5,3)代入方程，解得a2＝16.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.
三、求双曲线的离心率
知识梳理
离心率
(1)定义
焦距与实轴长的比eq \f(c,a)叫作双曲线的离心率，记为e.由a2＋b2＝c2，可得e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2).
(2)范围
由c>a>0可知双曲线的离心率e>1.
(3)几何意义
由等式c2＝a2＋b2，得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1).
因此e越大，eq \f(b,a)也越大，即渐近线y＝±eq \f(b,a)x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度．
例3 (1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________．
答案 eq \r(5)或eq \f(\r(5),2)
解析 当焦点在x轴上时，eq \f(b,a)＝2，这时离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋22)＝eq \r(5).
当焦点在y轴上时，eq \f(a,b)＝2，即eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，这时离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2).
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为eq \f(\r(3),2)c，求其离心率的值．
解 因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0的距离为eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc,c)＝b，所以b＝eq \f(\r(3),2)c，因此a2＝c2－b2＝c2－eq \f(3,4)c2＝eq \f(1,4)c2，a＝eq \f(1,2)c，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝2.
反思感悟 求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
跟踪训练3 过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为__________．
答案 2＋eq \r(3)
解析 如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，得y2＝3b2，
不妨令点P的坐标为(2a，－eq \r(3)b)，
此时kPF2＝eq \f(\r(3)b,c－2a)＝eq \f(b,a)，
得到c＝(2＋eq \r(3))a，
即双曲线C的离心率e＝eq \f(c,a)＝2＋eq \r(3).
1．知识清单：
(1)根据双曲线方程研究几何性质．
(2)由几何性质求双曲线的标准方程．
(3)求双曲线的离心率．
2．方法归纳：待定系数法、分类讨论、解方程法．
3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．
1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8eq \r(2)
B．虚轴长为4
C．焦距为6
D．离心率为eq \f(3\r(2),4)
答案 ABD
解析 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为eq \f(x2,32)－eq \f(y2,4)＝1，可得a＝4eq \r(2)，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8eq \r(2)，虚轴长为4，焦距为12，离心率为eq \f(3\r(2),4).
2．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x
答案 B
解析 ∵e＝eq \r(3)，∴eq \f(c,a)＝eq \r(3)，即eq \f(a2＋b2,a2)＝3，
∴b2＝2a2，
∴渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.
3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )
A.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1
答案 D
解析 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.
4．已知点(2,3)在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
答案 2
解析 由题意知eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1，
所以e＝eq \f(c,a)＝2.
课时对点练
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2)
答案 C
解析 双曲线方程可变形为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
2．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,4)x B．y＝±eq \f(1,3)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±x
答案 C
解析 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，故有eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(5,4)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，解得eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).
故双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x.
3．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
答案 A
解析 椭圆4x2＋y2＝64可变形为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,64)＝1，
a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0,4eq \r(3))，(0，－4eq \r(3))，离心率e＝eq \f(\r(3),2)，
则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4eq \r(3)，e′＝eq \f(2,\r(3))，
从而a′＝6，b′2＝12，
故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.
4．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )
A．2 B.eq \r(2) C．2eq \r(2) D．4
答案 B
解析 因为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，所以a＝b.
所以渐近线方程为y＝±x，
因为顶点到一条渐近线的距离为1，
所以eq \f(\r(2),2)a＝1，
所以a＝b＝eq \r(2)，
所以双曲线C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，
焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，
所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2).
5．(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，则下列结论正确的是 ( )
A．C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
B．C的离心率为eq \f(5,4)
C．焦点到渐近线的距离为3
D．PF的最小值为2
答案 AD
解析 双曲线C的一个焦点为F(5,0)，且渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，A正确；离心率为e＝eq \f(5,3)，B不正确；
焦点到渐近线的距离为d＝b＝4，C不正确；
PF的最小值为c－a＝2，D正确．
6．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足PF1∶PF2∶F1F2＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为( )
A．2 B.eq \f(5,2) C.eq \f(5,3) D．5
答案 B
解析 e＝eq \f(F1F2,PF2－PF1)＝eq \f(5,6－4)＝eq \f(5,2).
7．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2eq \r(5)，0)，且离心率为e＝eq \f(\r(5),2)，则双曲线的标准方程为________________．
答案 eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1
解析 由焦点坐标，知c＝2eq \r(5)，由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，可得a＝4，所以b＝eq \r(c2－a2)＝2，则双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1.
8．设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
答案 eq \r(3)
解析 不妨设PF1>PF2，则PF1－PF2＝2a，又PF1＋PF2＝6a，得PF1＝4a，PF2＝2a，F1F2＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×(4a)×(2c)×cs 30°，整理得(e－eq \r(3))2＝0，所以e＝eq \r(3).
9．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切．
(1)求双曲线的离心率；
(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．
解 (1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，
则eq \f(5k,\r(k2＋1))＝4，解得k＝eq \f(4,3).
若双曲线焦点在x轴上，则eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，e＝eq \f(5,3)；
若双曲线焦点在y轴上，则eq \f(a,b)＝eq \f(4,3)，e＝eq \f(5,4)，
故所求双曲线的离心率为e＝eq \f(5,3)或e＝eq \f(5,4).
(2)由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)，
由PF1⊥PF2得eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0.
所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5，
由(1)知eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，又a2＋b2＝c2＝25，
所以a＝3，b＝4，
所以双曲线的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
10．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(0解 设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.
于是有eq \f(|b·0＋a·0－ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3),4)c，
所以ab＝eq \f(\r(3),4)c2，两边平方，得a2b2＝eq \f(3,16)c4.
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝eq \f(4,3).
又b>a，所以e2＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)>2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
11．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
答案 B
解析 设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)－\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
两式作差得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝eq \f(－12b2,－15a2)＝eq \f(4b2,5a2)，
又AB的斜率是eq \f(－15－0,－12－3)＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线的标准方程是eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
12．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A.eq \r(5) B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 D
解析 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则BM＝AB＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为(2a，eq \r(3)a)．
∵M点在双曲线上，
∴eq \f(4a2,a2)－eq \f(3a2,b2)＝1，a＝b，
∴c＝eq \r(2)a，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).故选D.
13.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 B
解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，
因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，
所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1＝eq \f(c,a)，e2＝eq \f(c,m)，
由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，
即2m＝a，所以eq \f(e2,e1)＝eq \f(\f(c,m),\f(c,a))＝eq \f(a,m)＝2.
14．已知F为双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
答案 44
解析 由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，
∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，
且PQ＝QA＋PA＝4b＝16，点P，Q在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，得PF－PA＝6，QF－QA＝6.
∴PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，
∴△PQF的周长为PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.
15．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为__________．
答案 eq \f(32,15)
解析 双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.不妨设直线FB的方程为y＝eq \f(4,3)(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
解得x＝eq \f(17,5)，y＝－eq \f(32,15)，所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)，－\f(32,15))).
所以S△AFB＝eq \f(1,2)AF|yB|＝eq \f(1,2)(c－a)·|yB|
＝eq \f(1,2)×(5－3)×eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
16．已知双曲线C1：x2－eq \f(y2,4)＝1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，eq \r(3))的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点，当eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3时，求实数m的值．
解 (1)双曲线C1的焦点坐标为(eq \r(5)，0)，(－eq \r(5)，0)，
设双曲线C2的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝5，,\f(16,a2)－\f(3,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1，))
所以双曲线C2的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
(2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，
设A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－\f(y2,4)＝0，,y＝x＋m，))消去y化简得3x2－2mx－m2＝0，
由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0.
因为x1x2＝－eq \f(m2,3)，
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2，
所以m2＝3，即m＝±eq \r(3).标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
实半轴长＝a，虚半轴长＝b
离心率
e＝eq \f(c,a)>1
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
学习目标 1.掌握双曲线的几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．
导语
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质．
一、根据双曲线方程研究几何性质
知识梳理
1．双曲线的几何性质
2.双曲线的中心和等轴双曲线
(1)双曲线的中心
双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其离心率e＝eq \r(2).
注意点：
(1)等轴双曲线的离心率为eq \r(2)，渐近线方程为y＝±x.
(2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)利用渐近线可以较准确的画双曲线的草图．
(5)双曲线上的点到焦点的最小值为c－a.
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
解 双曲线的方程化为标准形式是eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝eq \r(13).
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－eq \r(13)，0)，(eq \r(13)，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x.
延伸探究
1．把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？
解 把方程9y2－4x2＝36化为标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1，这里a2＝4，b2＝9，c2＝13.焦点在y轴上．所以顶点坐标为(0,2)，(0，－2)，
焦点坐标为(0，eq \r(13))，(0，－eq \r(13))，实轴长2a＝4，
虚轴长2b＝6，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),2)，渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \f(2,3)x.
2．把本例方程“9y2－4x2＝－36”改为“4x2－9y2＝－4”，它的性质又如何？
解 方程4x2－9y2＝－4可化为标准方程eq \f(y2,\f(4,9))－x2＝1，焦点在y轴上，这里a2＝eq \f(4,9)，b2＝1，c2＝eq \f(4,9)＋1＝eq \f(13,9).
所以顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(2,3))).
焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(13),3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(13),3))).
实轴长2a＝eq \f(4,3)，虚轴长2b＝2.
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),2).
渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \f(2,3)x.
反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为
eq \f(y2,42)－eq \f(x2,32)＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(42＋32)＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)；渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.
二、由几何性质求双曲线的标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为eq \f(5,3)；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．
解 (1)设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，从而b＝4，c＝eq \f(5,3)a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
(2)由两顶点间的距离是6得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1.
反思感悟 由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)；
(2)焦点在x轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(－5,3)．
解 (1)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1.
(2)∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，
∴c＝eq \r(2)a，b2＝c2－a2＝a2.
又∵焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1(a＞0)．
把点(－5,3)代入方程，解得a2＝16.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.
三、求双曲线的离心率
知识梳理
离心率
(1)定义
焦距与实轴长的比eq \f(c,a)叫作双曲线的离心率，记为e.由a2＋b2＝c2，可得e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2).
(2)范围
由c>a>0可知双曲线的离心率e>1.
(3)几何意义
由等式c2＝a2＋b2，得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1).
因此e越大，eq \f(b,a)也越大，即渐近线y＝±eq \f(b,a)x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度．
例3 (1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________．
答案 eq \r(5)或eq \f(\r(5),2)
解析 当焦点在x轴上时，eq \f(b,a)＝2，这时离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋22)＝eq \r(5).
当焦点在y轴上时，eq \f(a,b)＝2，即eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，这时离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2).
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为eq \f(\r(3),2)c，求其离心率的值．
解 因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0的距离为eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc,c)＝b，所以b＝eq \f(\r(3),2)c，因此a2＝c2－b2＝c2－eq \f(3,4)c2＝eq \f(1,4)c2，a＝eq \f(1,2)c，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝2.
反思感悟 求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
跟踪训练3 过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为__________．
答案 2＋eq \r(3)
解析 如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，得y2＝3b2，
不妨令点P的坐标为(2a，－eq \r(3)b)，
此时kPF2＝eq \f(\r(3)b,c－2a)＝eq \f(b,a)，
得到c＝(2＋eq \r(3))a，
即双曲线C的离心率e＝eq \f(c,a)＝2＋eq \r(3).
1．知识清单：
(1)根据双曲线方程研究几何性质．
(2)由几何性质求双曲线的标准方程．
(3)求双曲线的离心率．
2．方法归纳：待定系数法、分类讨论、解方程法．
3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．
1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8eq \r(2)
B．虚轴长为4
C．焦距为6
D．离心率为eq \f(3\r(2),4)
答案 ABD
解析 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为eq \f(x2,32)－eq \f(y2,4)＝1，可得a＝4eq \r(2)，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8eq \r(2)，虚轴长为4，焦距为12，离心率为eq \f(3\r(2),4).
2．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x
答案 B
解析 ∵e＝eq \r(3)，∴eq \f(c,a)＝eq \r(3)，即eq \f(a2＋b2,a2)＝3，
∴b2＝2a2，
∴渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.
3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )
A.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1
答案 D
解析 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.
4．已知点(2,3)在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
答案 2
解析 由题意知eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1，
所以e＝eq \f(c,a)＝2.
课时对点练
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2)
答案 C
解析 双曲线方程可变形为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
2．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,4)x B．y＝±eq \f(1,3)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±x
答案 C
解析 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，故有eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(5,4)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，解得eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).
故双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x.
3．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
答案 A
解析 椭圆4x2＋y2＝64可变形为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,64)＝1，
a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0,4eq \r(3))，(0，－4eq \r(3))，离心率e＝eq \f(\r(3),2)，
则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4eq \r(3)，e′＝eq \f(2,\r(3))，
从而a′＝6，b′2＝12，
故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.
4．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )
A．2 B.eq \r(2) C．2eq \r(2) D．4
答案 B
解析 因为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，所以a＝b.
所以渐近线方程为y＝±x，
因为顶点到一条渐近线的距离为1，
所以eq \f(\r(2),2)a＝1，
所以a＝b＝eq \r(2)，
所以双曲线C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，
焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，
所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2).
5．(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，则下列结论正确的是 ( )
A．C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
B．C的离心率为eq \f(5,4)
C．焦点到渐近线的距离为3
D．PF的最小值为2
答案 AD
解析 双曲线C的一个焦点为F(5,0)，且渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，A正确；离心率为e＝eq \f(5,3)，B不正确；
焦点到渐近线的距离为d＝b＝4，C不正确；
PF的最小值为c－a＝2，D正确．
6．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足PF1∶PF2∶F1F2＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为( )
A．2 B.eq \f(5,2) C.eq \f(5,3) D．5
答案 B
解析 e＝eq \f(F1F2,PF2－PF1)＝eq \f(5,6－4)＝eq \f(5,2).
7．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2eq \r(5)，0)，且离心率为e＝eq \f(\r(5),2)，则双曲线的标准方程为________________．
答案 eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1
解析 由焦点坐标，知c＝2eq \r(5)，由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，可得a＝4，所以b＝eq \r(c2－a2)＝2，则双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1.
8．设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
答案 eq \r(3)
解析 不妨设PF1>PF2，则PF1－PF2＝2a，又PF1＋PF2＝6a，得PF1＝4a，PF2＝2a，F1F2＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×(4a)×(2c)×cs 30°，整理得(e－eq \r(3))2＝0，所以e＝eq \r(3).
9．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切．
(1)求双曲线的离心率；
(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．
解 (1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，
则eq \f(5k,\r(k2＋1))＝4，解得k＝eq \f(4,3).
若双曲线焦点在x轴上，则eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，e＝eq \f(5,3)；
若双曲线焦点在y轴上，则eq \f(a,b)＝eq \f(4,3)，e＝eq \f(5,4)，
故所求双曲线的离心率为e＝eq \f(5,3)或e＝eq \f(5,4).
(2)由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)，
由PF1⊥PF2得eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0.
所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5，
由(1)知eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，又a2＋b2＝c2＝25，
所以a＝3，b＝4，
所以双曲线的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
10．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(0
于是有eq \f(|b·0＋a·0－ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3),4)c，
所以ab＝eq \f(\r(3),4)c2，两边平方，得a2b2＝eq \f(3,16)c4.
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝eq \f(4,3).
又b>a，所以e2＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)>2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
11．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
答案 B
解析 设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)－\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
两式作差得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝eq \f(－12b2,－15a2)＝eq \f(4b2,5a2)，
又AB的斜率是eq \f(－15－0,－12－3)＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线的标准方程是eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
12．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A.eq \r(5) B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 D
解析 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则BM＝AB＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为(2a，eq \r(3)a)．
∵M点在双曲线上，
∴eq \f(4a2,a2)－eq \f(3a2,b2)＝1，a＝b，
∴c＝eq \r(2)a，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).故选D.
13.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 B
解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，
因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，
所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1＝eq \f(c,a)，e2＝eq \f(c,m)，
由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，
即2m＝a，所以eq \f(e2,e1)＝eq \f(\f(c,m),\f(c,a))＝eq \f(a,m)＝2.
14．已知F为双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
答案 44
解析 由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，
∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，
且PQ＝QA＋PA＝4b＝16，点P，Q在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，得PF－PA＝6，QF－QA＝6.
∴PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，
∴△PQF的周长为PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.
15．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为__________．
答案 eq \f(32,15)
解析 双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.不妨设直线FB的方程为y＝eq \f(4,3)(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
解得x＝eq \f(17,5)，y＝－eq \f(32,15)，所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)，－\f(32,15))).
所以S△AFB＝eq \f(1,2)AF|yB|＝eq \f(1,2)(c－a)·|yB|
＝eq \f(1,2)×(5－3)×eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
16．已知双曲线C1：x2－eq \f(y2,4)＝1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，eq \r(3))的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点，当eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3时，求实数m的值．
解 (1)双曲线C1的焦点坐标为(eq \r(5)，0)，(－eq \r(5)，0)，
设双曲线C2的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝5，,\f(16,a2)－\f(3,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1，))
所以双曲线C2的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
(2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，
设A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－\f(y2,4)＝0，,y＝x＋m，))消去y化简得3x2－2mx－m2＝0，
由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0.
因为x1x2＝－eq \f(m2,3)，
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2，
所以m2＝3，即m＝±eq \r(3).标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
实半轴长＝a，虚半轴长＝b
离心率
e＝eq \f(c,a)>1
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
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