考点43 数列不等式-练习题

考点42数列不等式

一、单选题

1．已知等差数列的前项和为，且满足，，则该数列的公差可取的值是（    ）

A．3 B．1 C．-1 D．-3

2．已知数列的前n项和为，且，，若，则k的最小值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

3．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，且最小间隔数是3，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．数列满足，，且，则的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

5．已知数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，若数列为“和谐数列”，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．公差不为0的等差数列中，前n项和记为，若且，，成等比数列，数列 的前n项和为，若对任意，均成立，则实数t的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

8．已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

9．数列的前项和为，若，，则（    ）

A．数列是公比为2的等比数列 B．

C．既无最大值也无最小值 D．

10．设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（    ）

A．3 B． C．2 D．

11．已知，，若对任意恒成立，则实数的最小值是(    )

A． B．

C． D．

12．已知正项数列的前项和为，且满足，，，记数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．设数列的前项和为，且，则满足的最小值为___________

14．数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是___________.

15．以为首项､以为公比的等比数列满足，，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是______.

16．数列的前项和记为，若，，，2…，若恒成立，则的最小值是________.

参考答案

1．D

【分析】

由可得，然后将化为，即得，结合，所以得到，从而得出答案.

【详解】

由，即

又，所以

则，即

又，则，解得

选项中只有选项D 满足.

故选：D

2．B

【分析】

由得数列的递推式，构造新数列是等比数列，求出后解不等式可得．

【详解】

,

，，，

所以是等比数列，公比为2，所以，，

，．的最小值为6．

故选：B．

3．A

【分析】

依题意得到，成立，则，对于 成立，且对于 成立，即可求出参数的取值范围；

【详解】

解：若 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则

，成立，

则，对于 成立，且对于 成立，

即，对于 成立，且，对于 成立，

所以，且，

解得，

故选：A．

4．D

【分析】

令，可排除A项；利用数学归纳法，可得判定当时，，根据当时，数列满足，结合选项，即可求解.

【详解】

令，可得，所以，可排除A项；

先用数学归纳法证明：当时，，

当时，可得成立，

假设时，时，成立，

当时，，

所以对于，，

所以当时，命题成立，可排除B项；

又由时，，此时数列满足，

结合选项，可得.

故选：D.

5．B

【分析】

讨论与的情况，对的情况，计算，由，可得结果.

【详解】

解：当时，显然满足；

当时，，

由可得，即，

由恒成立，可得.

综上可知，

故选：B.

6．D

【分析】

设公差为，运用等比中项和等差数列的求和公式，解方程可得，进而得到的通项公式，然后可得，然后求出，即可选出答案.

【详解】

设公差不为0的等差数列中，前项和记为，

若，且，，成等比数列，

则，

即有，

由，解得，

则；

所以，

，

则

所以

故选：D

7．C

【分析】

先求出的通项，再利用裂项相消法可求，结合不等式的性质可求实数t的最小值.

【详解】

时，，

因为，

所以时，，

两式相减得到，故时不适合此式，

所以，

当时，，

当时，，

所以；所以t的最小值；

故选：C.

【点睛】

方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

8．A

【分析】

首先根据题意求出，从而得到；再由对于任意的，不等式恒成立，得到不等式在时恒成立，从而得到，通过解不等式组即可求出实数的取值范围.

【详解】

因为，所以时，，

两式相减，得，即，

又时，，所以，

因为也适合，所以.

所以，

因为对于任意的，不等式恒成立，

所以对于任意的，不等式恒成立，

即对于任意的，不等式恒成立，

所以只需，即，解得或.

所以实数的取值范围为.

故选：A.

9．D

【分析】

根据间的关系求出，进而判断A,B；然后求出，根据数列的增减性判断C；最后通过等比数列求和公式求出，进而判断D.

【详解】

由题意，时，，又，解得：，

时，，则，又，

所以数列从第2项起是公比为2的等比数列.A错误；

易得，，则，B错误；

时，，时，，而是递减数列，所以时，.

综上：有最大值1.C错误；

时，，满足题意；时，，于是，.D正确.

故选：D.

10．B

【分析】

由已知得.再求得，从而有数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得，从而求得得答案.

【详解】

解：由，得，∴.

又由，得，又，∴.所以，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，则，

∴，

∴，

∴.

∴.

∵对任意，，∴的最小值为.

故选：B.

11．B

【分析】

结合已知条件分离参数，然后构造新数列，通过分类讨论为奇数或偶数，求新数列的最值即可求解.

【详解】

依题意，，所以，即，

所以对于恒成立，

不妨令，

当为偶数时，，当增大，增大，且，

当为奇数是，，当增大，减小，故当时，取得最大值，所以，故实数的最小值.

故选:B.

12．B

【分析】

由结合等比数列的定义得出，再由裂项相消法求出，进而得出恒成立，令，求出其单调性，进而得出实数的取值范围.

【详解】

由，得，

又，是以为首项，2为公比的等比数列

恒成立等价于恒成立

令，则

当时，，当时，

当或时，取得最大值，

故选：B.

13．

【分析】

先求得，由，可得，由此即可求解

【详解】

因为，

所以

，

由，可得，解得，

所以满足的最小值为，

故答案为：

14．

【分析】

利用累加法求出，然后可得，然后可得答案.

【详解】

从而可得

即， 因为，所以.

故答案为：

15．

【分析】

利用等比数列的前项和公式求出从而可得，进而可得，解不等式即可.

【详解】

由题意得，

可得，所以，

所以，即.

故答案为：

16．

【分析】

先由递推公式， 得到，结合题中条件，得到从第二项起为等比数列，公比为，由此求出的最大值，即可得出结果.

【详解】

由得，

两式相减得：，则，

由，，解得，所以不满足上式，

故数列从第二项起为等比数列，公比为，

所以当时，；

即数列从第二项起都是负数，

因此的最大值为，

所以为使恒成立，只需，

即的最小值是.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于求出的最大值，求解时，先根据递推公式，判定数列从第二项起都是负数，即可得出的最大值.