考点39 数列求和（倒序相加法）练习题

考点39数列求和（倒序相加法）

一、单选题

1．已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（    ）

A．12 B．14

C．16 D．18

2．设，

A．4 B．5 C．6 D．10

3．在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（    ）

A． B．

C． D．

4．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（    ）

A．100 B．105 C．110 D．115

5．已知函数，则（    ）

A．3 B．4 C． D．

6．已知数列满足，则数列的最小值是

A．25 B．26 C．27 D．28

7．设函数 则的值为

A． B． C． D．

8．已知函数为奇函数，，即，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

9．已知，（），则（    ）

A． B． C． D．

10．设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（    ）．

A．11 B．10 C．9 D．8

11．已知函数，设（），则数列的前2019项和的值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则（    ）

A．0 B．n C． D．

二、填空题

13．，且，则数列的通项公式为________．

14．已知函数，若公比为等比数列满足，，则______.

15．已知为等比数列，且，若，则_______

16．已知函数，仿照等差数列求和公式的推导方法，化简：____．

参考答案

1．B

【分析】

根据条件可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，倒序相加可得a1＋an＝30，再代入等差数列求和公式即可得解.

【详解】

由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，

an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30.

又因为，

所以n＝14.

故选：B

2．B

【详解】

由于，故原式.

点睛：本题主要考查函数变换，考查倒序相加法.首先注意到要求值的式子的规律：第一个自变量和最后一个自变量的和为，第二个自变量和倒数第二个自变量的和为，依次类推.故猜想的值为常数或者有规律的数，通过计算可知，手尾两项的和为，由此求得表达式的值.

3．B

【分析】

利用倒序相加法得到，得到答案.

【详解】

依题意，记，

则，

又，两式相加可得

，

则.

故选：B．

4．D

【分析】

根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和.

【详解】

因为函数满足，

①，

②，

由①②可得，，

所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题.

5．C

【分析】

根据，求出，再由倒序相加法，即可求出结果.

【详解】

因为，所以，所以，

记，

则，

所以，

故.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数值求和的问题，灵活运用倒序求和的方法即可，属于常考题型.

6．B

【详解】

试题分析：因为数列中，，所以，，

，，上式相加，可得

，所以，所以

，当且仅当，即时，等式相等，故选B．

考点：数列的求和和基本不等式的应用．

7．C

【详解】

试题分析：

当时，；

令

两式相加，得,则所求值为201.

考点：倒序相加法.

8．B

【分析】

由已知可得出，可推导出，利用倒序相加法可求得数列的前项和.

【详解】

由于函数为奇函数，则，即，

，，

所以，，

因此，数列的前项和为.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列的倒序相加法，解本题的关键在于利用奇函数的性质推导出，进而得出，根据此规律结合倒序相加法求解.

9．C

【分析】

利用累加法即可求出通项公式．

【详解】

解：∵，则当时，

，

……

，

，

∴，

化简得，

又，

∴，

经检验也符合上式，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．

10．D

【分析】

利用倒序相加法可求得，进而解不等式求得最大正整数.

【详解】

设，则，

又，，

，由得：，

，，，，

的值为.

故选：.

【点睛】

本题考查了与组合数有关的不等式的求解问题；涉及到了利用倒序相加法求解数列的前项和的问题，属于中档题.

11．A

【分析】

首先可得，又，则，即，则可得，再由及计算可得；

【详解】

解：因为，

所以

所以

因为

所以，

所以

则数列的前2018项和

则

所以

所以

又

故选：

【点睛】

本题考查数列的递推公式的应用，函数与数列，倒序相加法求和，属于中档题.

12．D

【分析】

由题意可得的图像关于点对称，函数的图像也关于对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案.

【详解】

函数满足，

的图像关于点对称，而函数的图像也关于对称，

设

令，则，

，

令，则，

，

，

故选：D

【点睛】

本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.

13．

【分析】

根据函数的解析式，求得，结合倒序相减法，即可求解.

【详解】

由题意，函数，

可得，

可得，

则，

可得，

所以，即数列的通项公式为.

故答案为：.

14．1010

【分析】

求得为定值2，再根据，用倒序相加法即可求得结果.

【详解】

，

∵，

设

即

故，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数的性质，涉及倒序相加法求数列的前项和，属综合基础题.

15．2017

【分析】

利用函数解析式求得，，

…..然后求得表达式的值即可。

【详解】

因为，

 同理，，….

则

故答案为：2017

【点睛】

此题考查等比数列的性质和倒序相加求和，属于较易题目。，

16．

【解析】

∵，

∴，

∴.

∴.

故答案为.