考点41 数列求和（裂项相减法）练习题

考点40数列求和（裂项相减法）

一、单选题

1．已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为

A． B． C． D．

2．数列的前项和为，若，则等于

A．1 B． C． D．

3．等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为（   ）

A． B． C． D．

4．已知正项数列的前项和为，且，，设数列的前项和为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．已知数列的通项公式是，其前项和，则项数　　

A．13 B．10 C．9 D．6

6．已知数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，.则使得的值为（    ）

A． B． C． D．

8．数列的通项公式，它的前项和，则（    ）

A．9 B．10 C．99 D．100

9．令为的展开式中含项的系数，则数列的前n项和为（    ）

A． B．

C． D．

10．数列满足，则数列的前项和为（    ）

A． B．

C． D．

11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…,记该数列为，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．（2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________．

14．已知等差数列的前项和为，则___________.

15．若{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前2018项和为________.

16．设数列的前项和为，若，，且（且），则的值为__________．

参考答案

1．A

【详解】

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

∵a5＝5，S5＝15，

∴⇒⇒an＝n.

∴＝＝，

S100＝＋＋…＋

＝1－＝.

2．B

【分析】

化简，利用裂项相消法可得结果.

【详解】

因为，

所以，故选B．

【点睛】

裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

3．B

【分析】

先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，得到，再由裂项相消法即可求出结果.

【详解】

设等差数列的公差为，

由，，可得，所以，因此，

所以，

所以 .

故选B

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.

4．D

【分析】

先根据和项与通项关系化简得，再根据等差数列定义与通项公式得，最后利用裂项相消法求和即可确定取值范围.

【详解】

因为，

所以，

因此，即，

又为正项数列，所以，

故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，

因此，

所以，

因为，所以.

故选：D

【点睛】

本题考查利用和项与通项关系求通项、等差数列定义与通项公式、裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.

5．D

【解析】

∵数列{an}的通项公式是，则：

据此可得：，求解关于的方程可得n＝6.

本题选择D选项.

6．B

【分析】

由，利用累加法得出.

【详解】

由题意可得，

所以，，…，，

上式累加可得

，

又，所以.

故选：B.

7．B

【分析】

由，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.

【详解】

数列的前项和满足，

当时，；

当时，，

当时，适合上式，所以，

则，

所以.

故选：B.

8．C

【分析】

将式子分母有理化进行裂项，然后求和解得答案.

【详解】

数列的通项公式，则．解得．

故选：C．

9．D

【分析】

根据二项式的通项公式，结合裂项相消法进行求解即可.

【详解】

二项式的通项公式为：，令，

所以，，

因此数列的前n项和为：，

故选：D

10．B

【分析】

利用等差数列的前n项和公式得到，进而得到，利用裂项相消法求解.

【详解】

依题意得：，

，

，

故选：B．

11．B

【分析】

根据数列的奇数项的规律得到奇数项的通项公式，再根据裂项求和方法可求得结果.

【详解】

奇数项分别为0，4，12，24，40，…,即，，，，，…,

∴（为正奇数），∴（为大于1的奇数），

∴.

故选：B.

【点睛】

本题考查了由数列的项的规律，得数列的通项公式，考查了裂项求和方法，属于基础题.

12．A

【分析】

显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．

【详解】

因为，所以，．

由

，即

根据累加法可得，，当且仅当时取等号，

，

由累乘法可得，当且仅当时取等号，

由裂项求和法得：

所以，即．

故选：A．

【点睛】

本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．

13．

【详解】

设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ，

数列的前n项和，

裂项可得，

所以．

点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．

14．

【分析】

依题意设公差为，即可得到方程组，求出与，即可求出通项公式与前项和公式，再利用裂项相消法求和即可；

【详解】

解：设公差为，因为，所以，解得，所以，所以，所以，

所以

故答案为：

15．

【分析】

由题意，bn＝＝＝－，裂项相消法求和即可

【详解】

∵anbn＝1，且an＝n2＋3n＋2，

∴bn＝＝＝－，

∴{bn}的前2 018项和为：

故答案为：

16．

【分析】

设，则，由此可知为等差数列，即可求出的通项公式，进而得到，再根据即可求出数列的通项公式，然后根据裂项相消法即可求出相应的和．

【详解】

设，则，由等差中项法可判断为等差数列．

因为，，所以，即．

当时，．

当时，也符合，所以．

由于，所以，

．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查利用等差中项法判断等差数列，等差数列的通项公式的求法，与的关系的应用，以及利用裂项相消法求和，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．