考点46 基本不等式-练习题

考点 46基本不等式

一、单选题

1．已知

 (A)  (B)   (C)  (D)

2．在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为

A． B． C． D．

3．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是

A． B． C．5 D．6

4．若实数满足，则的最小值为

A． B．2 C． D．4

5．若，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

6．已知等比数列中，，则其前3项和的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

7．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是

A．3 B．4 C． D．

8．若直线过点，则的最小值等于

A．2 B．3 C．4 D．5

9．f(x)=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=

A．1+ B．1+ C．3 D．4

10．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为

A． B． C． D．

11．下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

12．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)

A．80元 B．120元

C．160元 D．240元

二、填空题

13．已知，且，则的最大值为________________

14．已知，则的最小值是_______．

15．已知，则函数的最小值为____________ .

16．若对任意，恒成立，则的取值范围是____________．

参考答案

1．C

【解析】本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。由,且，∴，∴ 。

2．C

【详解】

，由余弦定理得,当且仅当时取“”，的最小值为，选C.

3．C

【详解】

由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．

4．C

【详解】

，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.

考点：基本不等式

【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

5．D

【分析】

由基本不等式求解．

【详解】

，当且仅当即时等号成立、

所以，故.

易知中有一个可以取负无穷大，

所以的范围是．

故选：D．

6．D

【分析】

设公比为,再分公比的正负利用基本不等式求解即可.

【详解】

设公比为,则.

当时, ,

即,当且仅当时取等号.

当时, ,

即,当且仅当时取等号.

所以的取值范围是

故选：D

【点睛】

本题主要考查了基本不等式的运用,需要注意“一正二定三相等”的用法.属于中档题.

7．B

【详解】

解析：考察均值不等式，整理得即，又，

8．C

【详解】

试题分析：∵直线（，）过点，∴．则，当且仅当时取等号．故答案为C．

考点：基本不等式.

9．C

【详解】

试题分析：把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．

解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4

当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．

∵x=a处取最小值，

∴a=3

故选C

点评：本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．

10．C

【详解】

当且仅当时成立，因此所以

【考点定位】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想. 基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程，而能否使用基本不等式的关键是中的是否为定值，本题通过得以实现.

11．C

【分析】

根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】

对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

12．C

【详解】

设长方体底面边长分别为，则，

所以容器总造价为，

由基本不等式得，，

当且仅当底面为边长为的正方形时，总造价最低，选C.

考点：函数的应用，基本不等式的应用.

13．

【详解】

，当且仅当x=4y=时取等号.

14．

【分析】

根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.

【详解】

∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

15．-2

【详解】

解析：，当且仅当时，

16．

【解析】

因为，所以（当且仅当时取等号），所以有

，即的最大值为，故．

【命题意图】本题考查了分式不等式恒成立问题以及参数问题的求解，考查了同学们的转化能力．属中档题．