考点45 线性规划问题

考点45 线性规划问题

一、单选题

1．设x，y满足约束条件，则z=2x-3y的最小值是

A． B．-6 C． D．

2．设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为

A．－7 B．－4 C．1 D．2

3．若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是

A． B． C． D．

4．设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是

A． B． C． D．

5．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为

A．-5 B．1 C．2 D．3

6．已知圆，设平面区域，若圆心,且圆与轴相切，则的最大值为 （ ）

A．5 B．29 C．37 D．49

7．在平面直角坐标系中，为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为

A． B． C． D．

8．若变量满足约束条件，则的最大值是

A．12 B．26 C．28 D．33

9．若变量x，y满足则x2+y2的最大值是

A．4 B．9 C．10 D．12

10．已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝ (　　)

A．3 B．2

C．－2 D．－3

11．设，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为

A． B．

C．（1，3） D．（3，+）

12．若实数x、y满足则的取值范围是

A．（0，2） B．（0，2） C．(2,+∞) D．[2，+∞)

二、填空题

13．若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为________

14．不等式组表示的平面区域的面积为________.

15．已知实数满足则的取值范围是     .

16．若实数满足，则的最小值是_______．

参考答案

1．B

【详解】

画出不等式组表示的平面区域可知，平面区域为三角形,当目标函数表示的直线经过点(3,4)时，取得最小值，所以的最小值为,故选B.

【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.

2．A

【分析】

画图分析

【详解】

画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，

由题意知,当目标函数表示的直线经过点A(5，3)时，取得最小值，所以的最小值为，故选A.

【考点定位】

本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.

3．A

【详解】

不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）

∴△ABC=，设与的

交点为D，则由知，∴

∴选A．

4．C

【详解】

要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，即该平面区域和直线有交点，而直线的交点在直线上移动，由得交点坐标为，当即时，才会交点.

【考点定位】本小题考查了线性约束条件、线性规划问题、两条直线的位置关系和数形结合的思想.

5．D

【详解】

由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，其中A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)且a>－1，因为S△ABC＝2，所以×(1＋a)×1＝2，解得a＝3．

6．C

【详解】

试题分析：作出可行域如图，

圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1的圆心为，半径的圆，因为圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，可得，所以所以要使a2＋b2取得的最大值，只需取得最大值，由图像可知当圆心C位于B点时，取得最大值，B点的坐标为，即时是最大值.

考点：线性规划综合问题.

7．C

【详解】

试题分析：画出可行域如图：

分析可知当点与点重合时直线的斜率最小为.故C正确.

考点：线性规划.

8．C

【详解】

目标函数可以变形为

，做函数的平行线，

当其经过点A（4,4）时截距最大时，

即z有最大值为=.

[点评]解决线性规划题目的常规步骤：

一列（列出约束条件）、

二画（画出可行域）、

三作（作目标函数变形式的平行线）、

四求（求出最优解）.

9．C

【分析】

试题分析：画出可行域如图所示，点A（3，1）到原点距离最大，所以 ，选C.

【考点】简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.

【详解】

10．B

【详解】

试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则，，若过点A时取得最大值4，则．此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为4，符合题意．若过点B时取到最大值4，则，此时目标函数为 ，即 ，平移直线 ，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为6，不符合题意．．

考点：简单的线性规划．

【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．

11．A

【详解】

试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A．

考点：简单线性规划的应用.

【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．

12．D

【分析】

画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数表示的几何意义求解即可.

【详解】

不等式表示的平面区域如下图所示，

目标函数可视为可行域内的点与原点连线的斜率

，而

故

故选：D

【点睛】

本题主要考查了求分式目标函数的最值，属于中档题.

13．6；

【详解】

如图所示，当直线过C(4,2)时，x+y有最大值，最大值为6.

14．

【详解】

根据约束条件画出可行域，可知该可行域为三角形，直线与的交点为，利用点线距离公式得P到直线的距离为，直线与直线、的交点分别为，，则，

．

【点睛】

（1）根据线性约束条件画出可行域；（2）平面内点线距离公式、两点间距离公式的应用．

15．

【详解】

画出不等式组表示的平面区域，

由图可知原点到直线距离的平方为的最小值，为，原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为，因此的取值范围为

【考点】

线性规划

【名师点睛】

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.

16．.

【详解】

试题分析：因为表示圆及其内部，易得直线与圆相离，所以，当时，，如图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数，则可知当时，；当时，，如图所示，可行域为大的弓形内部，目标函数，则可知当时，，综上所述，的最小值是．

考点：简单的线性求最值．

【方法点晴】

本题主要考查了简单的线性规划的应用，正确作出约束条件表示的可行域是解答本题的关键，属于中档试题，同时着重考查了分类讨论的思想和转化与化归的思想方法的应用，本题的解答中，可分和两种情况化简目标函数，同时画出约束条件所表示的可行域，结合图形找出最优解，可求目标函数的最小值．