2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习39《椭圆》(含详解)

这是一份2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习39《椭圆》(含详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)=1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)=1 C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)=1 D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)=1
设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，
∠PF1F2=30°，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
若直线ax＋by－3=0与圆x2＋y2=3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的公共点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1与曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)=1(k＜9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
已知焦点在x轴上的椭圆方程为eq \f(x2,4a)＋eq \f(y2,a2＋1)=1，随着a的增大，该椭圆的形状( )
A.越接近于圆
B.越扁
C.先接近于圆后越扁
D.先越扁后接近于圆
椭圆mx2＋ny2＋mn=0(m＜n＜0)的焦点坐标是( )
A.(0，±eq \r(m－n)) B.(±eq \r(m－n)，0) C.(0，±eq \r(n－m)) D.(±eq \r(n－m)，0)
设F1，F2为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，
则eq \f(|PF2|,|PF1|)的值为( )
A.eq \f(5,14) B.eq \f(5,9) C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,13)
焦点在x轴上的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq \f(b,3)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是eq \f(3,4)，则此椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)=1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)=1或eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)=1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)=1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)=1或eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1
已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为( )
A.eq \f(4,3) B.1 C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，
△FMN的面积是( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(6\r(5),5) C.eq \f(8\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
设P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)=1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|=3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
二、填空题
已知A，B分别为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,b2)=1(0＜b＜3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y=eq \r(1－mn) x的距离为1，则该椭圆的离心率为________.
若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为4，则椭圆标准方程为________.
已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)=1(0 中心为原点，一个焦点为F(0,5eq \r(2))的椭圆，截直线y=3x－2所得弦中点的横坐标为eq \f(1,2)，
则该椭圆方程为________.
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT(O为坐标原点)的斜率为－eq \f(3b,c)，则该椭圆的离心率为________.
椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2b2,3b2]，椭圆M的离心率为e，则e－eq \f(1,e)的最小值是 .
\s 0 答案解析
答案为：C；
解析：由题意可得c=5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，
∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P=∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′=90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=eq \r(|FF′|2－|PF|2)=eq \r(102－62)=8，
由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|=2a=6＋8=14，从而a=7，得a2=49，
于是b2=a2－c2=72－52=24，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)=1，故选C.
答案为：D
解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|=1，因为∠PF1F2=30°，所以|PF1|=2，|F1F2|=eq \r(3).
故e=eq \f(2c,2a)=eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)=eq \f(\r(3),3).故选D.
答案为：C；
解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3=0的距离为eq \f(3,\r(a2＋b2))＞eq \r(3)，所以a2＋b2＜3.
又a，b不同时为零，所以0＜a2＋b2＜3.
由0＜a2＋b2＜3，可知|a|＜eq \r(3)，|b|＜eq \r(3)，由椭圆的方程知其长半轴长为2，
短半轴长为eq \r(3)，所以P(a，b)在椭圆内部，
所以过点P的一条直线与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的公共点有2个，故选C.
答案为：D；
解析：曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，
离心率为eq \f(4,5).曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)=1(k＜9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2eq \r(25－k)，
短轴长为2eq \r(9－k)，焦距为8，离心率为eq \f(4,\r(25－k)) .对照选项，知D正确.故选D.
答案为：D；
解析：由题意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－eq \r(3)＜a＜2＋eq \r(3)，
又e2=1－eq \f(a2＋1,4a)=1－eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))，因此当a∈(2－eq \r(3)，1)时，e越来越大，
当a∈(1，2＋eq \r(3))时，e越来越小.所以椭圆形状变化为先扁后圆.
答案为：C；
解析：化为标准方程是eq \f(x2,－n)＋eq \f(y2,－m)=1，
∵m＜n＜0，∴0＜－n＜－m.∴焦点在y轴上，且c=eq \r(n－m).
答案为：D；
解析：如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，
所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|=eq \f(b2,a)=eq \f(5,3)，|PF1|=2a－|PF2|=eq \f(13,3)，eq \f(|PF2|,|PF1|)=eq \f(5,13)，故选D.
答案为：C.
解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，
又由三角形面积公式得eq \f(1,2)×2c·b=eq \f(1,2)(2a＋2c)·eq \f(b,3)，得a=2c，即e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2)，故选C.
答案为：B；
解析：因为a=4，e=eq \f(3,4)，所以c=3，所以b2=a2－c2=16－9=7.因为焦点的位置不确定，
所以椭圆的标准方程是eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)=1或eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)=1.
答案为：D；
解析：不妨设A点在B点上方，
由题意知，F2(1,0)，将F2的横坐标代入椭圆方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1中，
可得A点纵坐标为eq \f(3,2)，故|AB|=3，
所以内切圆半径r=eq \f(2S,C)=eq \f(6,8)=eq \f(3,4)(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长)，故选D.
答案为：C；
解析：设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L=|MN|＋|MF|＋|NF|
=|MN|＋(2eq \r(5)－|ME|)＋(2eq \r(5)－|NE|).因为|ME|＋|NE|≥|MN|，
所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，
所以L=4eq \r(5)＋|MN|－|ME|－|NE|≤4eq \r(5)，即直线x=a过椭圆的右焦点E时，
△FMN的周长最大，此时S△FMN=eq \f(1,2)×|MN|×|EF|=eq \f(1,2)×eq \f(2×4,\r(5))×2=eq \f(8\r(5),5)，故选C.
答案为：C；
解析：∵P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)=1上一点，|PF1|∶|PF2|=3∶4，|PF1|＋|PF2|=2a=14，
∴|PF1|=6，|PF2|=8，又∵|F1F2|=2c=2eq \r(49－24)=10，∴易知△PF1F2是直角三角形，
S△PF1F2=eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|=24，∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2=3S△GPF1，
∴△GPF1的面积为8，故选C.
答案为：eq \f(\r(2),4).
解析：根据椭圆的标准方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,b2)=1(0＜b＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，
A(－3,0)，B(3,0)，设P(x0，y0)，Q(x0，－y0)，则eq \f(x\\al(2,0),9)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)=1，kAP=m=eq \f(y0,x0＋3)，kBQ=n=eq \f(－y0,x0－3)，
∴mn=eq \f(－y\\al(2,0),x\\al(2,0)－9)=eq \f(b2,9)，∴eq \r(1－mn)=eq \f(\r(9－b2),3)，∴直线y=eq \r(1－mn) x=eq \f(\r(9－b2),3)x，即eq \r(9－b2)x－3y=0.
又点A到直线y=eq \r(1－mn) x的距离为1，∴eq \f(|－3\r(9－b2)|,\r(9－b2＋9))=eq \f(3\r(9－b2),\r(18－b2))=1，解得b2=eq \f(63,8)，
∴c2=a2－b2=eq \f(9,8)，∴e=eq \r(\f(c2,a2))=eq \r(\f(1,8))=eq \f(\r(2),4).
答案为：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)=1.
解析：由题意可知e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(3),2)，2b=4，得b=2，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2＝4＋c2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2\r(3)，))所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)=1.
答案为：eq \r(3).
解析：由椭圆的方程可知a=2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|=4a=8，
所以|AB|=8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，
则eq \f(2b2,a)=3，所以b2=3，即b=eq \r(3).
答案为：eq \f(y2,75)＋eq \f(x2,25)=1.
解析：由已知得c=5eq \r(2)，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2－50)＋eq \f(y2,a2)=1，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2－50)＋\f(y2,a2)＝1，,y＝3x－2，))
消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)=0，
设直线y=3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2=eq \f(12a2－50,10a2－450)，
由题意知x1＋x2=1，即eq \f(12a2－50,10a2－450)=1，解得a2=75，
所以该椭圆方程为eq \f(y2,75)＋eq \f(x2,25)=1.
答案为：eq \f(1,2).
解析：因为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)，A，B和F1点坐标分别为(a，0)，(0，b)，
(－c，0)，所以直线BF1的方程是y=eq \f(b,c)x＋b，OT的方程是y=－eq \f(3b,c)x.
联立解得T点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,4)，\f(3b,4)))，直线AT的斜率为－eq \f(3b,4a＋c).
由AT⊥BF1得，－eq \f(3b,4a＋c)×eq \f(b,c)=－1，∴3b2=4ac＋c2，∴3(a2－c2)=4ac＋c2，
∴4e2＋4e－3=0，又0＜e＜1，所以e=eq \f(1,2).
答案为：－eq \f(\r(2),2)；
解析：由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|=2a，
∴|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2=a2，∴2b2≤a2≤3b2，
即2a2－2c2≤a2≤3a2－3c2，∴eq \f(1,2)≤eq \f(c2,a2)≤eq \f(2,3)，即eq \f(\r(2),2)≤e≤eq \f(\r(6),3).
令f(x)=x－eq \f(1,x)，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(6),3)))上是增函数，
∴当e=eq \f(\r(2),2)时，e－eq \f(1,e)取得最小值eq \f(\r(2),2)－eq \r(2)=－eq \f(\r(2),2).