2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习47《不等式选讲》(含详解)

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已知函数f(x)=|x－m|，m<0.
(1)当m=－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；
(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围.
已知函数f(x)=2|x＋1|＋|x－2|.
(1)求f(x)的最小值m；
(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c=m，求证：eq \f(b2,a)＋eq \f(c2,b)＋eq \f(a2,c)≥3.
设函数f(x)=|2x－3|.
(1)求不等式f(x)>5－|x＋2|的解集；
(2)若g(x)=f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值.
设函数f(x)=5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围.
已知函数f(x)=|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
已知函数f(x)=|2x－1|＋|2x＋3|.
(1)解不等式f(x)≥6；
(2)记f(x)的最小值是m，正实数a，b满足2ab＋a＋2b=m，求a＋2b的最小值.
设函数f(x)=|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.
(1)求m；
(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2=m，求ab＋bc的最大值.
已知函数f(x)=x＋1＋|3－x|，x≥－1.
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab=a＋2b，求证：2a＋b≥eq \f(9,8).
\s 0 答案解析
解：(1)设F(x)=|x－1|＋|x＋1|
=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2xx<－1，,2－1≤x<1，,2xx≥1，))
G(x)=2－x，
由F(x)≥G(x)解得{x|x≤－2或x≥0}.
(2)f(x)＋f(2x)=|x－m|＋|2x－m|，m<0.
设g(x)=f(x)＋f(2x)，
当x≤m时，g(x)=m－x＋m－2x=2m－3x，
则g(x)≥－m；
当m当x≥eq \f(m,2)时，g(x)=x－m＋2x－m=3x－2m，则g(x)≥－eq \f(m,2).
则g(x)的值域为[－eq \f(m,2)，＋∞)，
不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，
即1>－eq \f(m,2)，解得m>－2，
由于m<0，则m的取值范围是(－2,0).
解：(1)当x<－1时，f(x)=－2(x＋1)－(x－2)=－3x∈(3，＋∞)；
当－1≤x<2时，f(x)=2(x＋1)－(x－2)=x＋4∈[3,6)；
当x≥2时，f(x)=2(x＋1)＋(x－2)=3x∈[6，＋∞).
综上，f(x)的最小值m=3.
(2)a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c=3，
因为eq \f(b2,a)＋eq \f(c2,b)＋eq \f(a2,c)＋(a＋b＋c)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a)＋a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c2,b)＋b))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)＋c))
≥2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(b2,a)·a)\r(\f(c2,b)·b)\r(\f(a2,c)·c)))=2(a＋b＋c).
(当且仅当a=b=c=1时，取等号)
所以eq \f(b2,a)＋eq \f(c2,b)＋eq \f(a2,c)≥a＋b＋c，即eq \f(b2,a)＋eq \f(c2,b)＋eq \f(a2,c)≥3.
解：(1)∵f(x)>5－|x＋2|可化为|2x－3|＋|x＋2|>5，
∴当x≥eq \f(3,2)时，原不等式化为(2x－3)＋(x＋2)>5，解得x>2，∴x>2；
当－25，解得x<0，∴－2当x≤－2时，原不等式化为(3－2x)－(x＋2)>5，解得x<－eq \f(4,3)，∴x≤－2.
综上，不等式f(x)>5－|x＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞).
(2)∵f(x)=|2x－3|，
∴g(x)=f(x＋m)＋f(x－m)=|2x＋2m－3|＋|2x－2m－3|
≥|(2x＋2m－3)－(2x－2m－3)|=|4m|，
∴依题意有4|m|=4，解得m=±1.
解：(1)当a=1时，
f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋4，x≤－1，,2，－12.))
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x=2时等号成立.
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
解：(1)当a=1时，f(x)>1化为
|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得eq \f(2,3)当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,3)(2)由题设可得，f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1－2a，x<－1，,3x＋1－2a，－1≤x≤a，,－x＋1＋2a，x>a.))
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为
Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a－1,3)，0))，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为eq \f(2,3)(a＋1)2.
由题设得eq \f(2,3)(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞).
解：(1)当x≤－eq \f(3,2)时，f(x)=－2－4x，
由f(x)≥6，解得x≤－2；
当－eq \f(3,2)当x≥eq \f(1,2)时，f(x)=4x＋2，由f(x)≥6解得x≥1.
∴f(x)≥6的解集是{x|x≤－2或x≥1}.
(2)f(x)=|2x－1|＋|2x＋3|≥|(2x－1)－(2x＋3)|=4，
即f(x)的最小值为4，则m=4.
∵a·2b≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2b,2)))2，
∴由2ab＋a＋2b=4可得4－(a＋2b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2b,2)))2，
解得a＋2b≥2eq \r(5)－2(当且仅当a=2b时等号成立)，
∴a＋2b的最小值为2eq \r(5)－2.
解：(1)当x≤－1时，f(x)=3＋x≤2；
当－1＜x＜1时，f(x)=－1－3x＜2；
当x≥1时，f(x)=－x－3≤－4.
故当x=－1时，f(x)取得最大值m=2.
(2)因为2=a2＋2b2＋c2=(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc=2(ab＋bc)，
当且仅当a=b=c=eq \f(\r(2),2)时取等号，
此时，ab＋bc取得最大值1.
解：
(1)根据题意，若f(x)≤6，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＋3－x≤6，,－1≤x<3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＋x－3≤6，,x≥3，))
解得－1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}.
(2)证明：函数f(x)=x＋1＋|3－x|=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，－1≤x<3，,2x－2，x≥3，))
分析可得f(x)的最小值为4，即n=4，
则正数a，b满足8ab=a＋2b，即eq \f(1,b)＋eq \f(2,a)=8，
∴2a＋b=eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)＋\f(2,a)))(2a＋b)=eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,b)＋\f(2b,a)＋5))≥eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(2a,b)·\f(2b,a))))=eq \f(9,8)，原不等式得证.