2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习41《抛物线》(含详解)

这是一份2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习41《抛物线》(含详解)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知抛物线C：x2=2py(p＞0)，若直线y=2x被抛物线所截弦长为4eq \r(5)，则抛物线C的方程为( )
A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y
如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.eq \f(|BF|－1,|AF|－1) B.eq \f(|BF|2－1,|AF|2－1) C.eq \f(|BF|＋1,|AF|＋1) D.eq \f(|BF|2＋1,|AF|2＋1)
过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，以线段AB为直径的圆的圆心为O1，半径为r.点O1到C的准线 SKIPIF 1 < 0 的距离与r之积为25，则r(x1+x2)=（ ）
A.40 B.30 C.25 D.20
已知圆C：(x－5)2＋(y－eq \f(1,2))2=8，抛物线E：x2=2py(p>0)上两点A(－2，y1)与B(4，y2)，
若存在与直线AB平行的一条直线和C与E都相切，则E的准线方程为( )
A.x=－eq \f(1,2) B.y=－1 C.y=－eq \f(1,2) D.x=－1
若抛物线x2=4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n=( )
A.eq \f(19,4) B.eq \f(9,2) C.3 D.4
已知抛物线C与双曲线x2－y2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A.y2=±2eq \r(2)x B.y2=±2x C.y2=±4x D.y2=±4eq \r(2)x
已知抛物线y2=2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF|＞2，则点A到原点的距离为( )
A.eq \r(41) B.2eq \r(2) C.4 D.8
已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|=|MF|=eq \f(3,2)(O为坐标原点)，则eq \(OM,\s\up15(→))·eq \(MF,\s\up15(→))=( )
A.－eq \f(7,4) B.eq \f(7,4) C.eq \f(9,4) D.－eq \f(9,4)
已知抛物线y2=2px(p＞0)过点A(eq \f(1,2),eq \r(2))，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若eq \(MB,\s\up10(→))=λeq \(AB,\s\up10(→))，则实数λ为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.2 D.3
抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；
反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.
若抛物线y2=4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为( )
A.eq \f(4,3) B.－eq \f(4,3) C.±eq \f(4,3) D.－eq \f(16,9)
已知抛物线C：y2=2eq \r(3)x，过焦点F且斜率为eq \r(3)的直线与C交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，则S△MFN=( )
A.8 B.2eq \r(3) C.4eq \r(3) D.8eq \r(3)
设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(\r(2),2) D.1
二、填空题
已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为 .
已知抛物线C：y2=2px(p＞0)，直线l：y=eq \r(3)(x－1)，l与C交于A，B两点，
若|AB|=eq \f(16,3)，则p=________.
已知抛物线y2=4x与直线2x－y－3=0相交于A，B两点，O为坐标原点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，则eq \f(1,k1)＋eq \f(1,k2)的值为 .
设P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为________.
抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂线PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为 .
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率k=－eq \r(3)，则线段PF的长为 .
\s 0 答案解析
答案为：C；
解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝2py，,y＝2x))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4p，,y＝8p，))
即两交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，则eq \r(（4p）2＋（8p）2)=4eq \r(5)，得p=1(舍去负值)，
故抛物线C的方程为x2=2y.
答案为：A；
解析：过A，B点分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N，
则|AM|=|AF|－1，|BN|=|BF|－1.
可知eq \f(S△BCF,S△ACF)=eq \f(\f(1,2)·|CB|·|CF|·sin∠BCF,\f(1,2)·|CA|·|CF|·sin∠BCF)=eq \f(|CB|,|CA|)=eq \f(|BN|,|AM|)=eq \f(|BF|－1,|AF|－1)，故选A.
A；
解析：由抛物线的性质知，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
答案为：C.
解析：由题意知，A(－2，eq \f(2,p))，B(4，eq \f(8,p))，∴kAB=eq \f(\f(8,p)－\f(2,p),4－－2)=eq \f(1,p)，
设抛物线E上的切点为(x0，y0)，
由y=eq \f(x2,2p)，得y′=eq \f(x,p)，∴eq \f(x0,p)=eq \f(1,p)，∴x0=1，∴切点为(1，eq \f(1,2p))，
∴切线方程为y－eq \f(1,2p)=eq \f(1,p)(x－1)，即2x－2py－1=0，
∵切线2x－2py－1=0与圆C相切，
∴圆心C(5，eq \f(1,2))到切线的距离为2eq \r(2)，即eq \f(|9－p|,\r(4＋4p2))=2eq \r(2)，
∴31p2＋18p－49=0，∴(p－1)(31p＋49)=0，
∵p>0，∴p=1.∴抛物线x2=2y的准线方程为y=－eq \f(1,2)，故选C.
答案为：D；
解析：抛物线x2=4y的准线方程为y=－1，根据抛物线定义可知，5=n＋1，得n=4，故选D.
答案为：D；
解析：由题意知双曲线的焦点为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0).
设抛物线C的方程为y2=±2px(p＞0)，则eq \f(p,2)=eq \r(2)，所以p=2eq \r(2)，
所以抛物线C的方程为y2=±4eq \r(2)x.故选D.
答案为：B；
解析：令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，
则点A的坐标为(5a-eq \f(1,2)，4a)，代入y2=2x中，解得a=eq \f(1,2)或a=eq \f(1,8)(舍)，此时A(2，2)，
故点A到原点的距离为2eq \r(2).
答案为：A；
解析：不妨设M(m，eq \r(2pm))(m＞0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
因为|MO|=|MF|=eq \f(3,2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2pm＝\f(9,4)，,m＋\f(p,2)＝\f(3,2)，))解得m=eq \f(1,2)，p=2，
所以eq \(OM,\s\up15(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，eq \(MF,\s\up15(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\r(2)))，所以eq \(OM,\s\up15(→))·eq \(MF,\s\up15(→))=eq \f(1,4)－2=－eq \f(7,4).故选A.
答案为：C；
解析：把点A(eq \f(1,2),eq \r(2))代入抛物线的方程得2=2p×eq \f(1,2)，解得p=2，
所以抛物线的方程为y2=4x，则B(－1，0)，设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,M),4)，yM))，则eq \(AB,\s\up10(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\r(2)))，
eq \(MB,\s\up10(→))=(－1－eq \f(yeq \\al(2,M),4)，－yM)，由eq \(MB,\s\up10(→))=λeq \(AB,\s\up10(→))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1－\f(yeq \\al(2,M),4)＝－\f(3,2)λ，,－yM＝－\r(2)λ，))解得λ=2或λ=1(舍去)，故选C.
答案为：B.
解析：将y=1代入y2=4x，可得x=eq \f(1,4)，即A(eq \f(1,4)，1).由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k=eq \f(1－0,\f(1,4)－1)=－eq \f(4,3).故选B.
答案为：B；
解析：不妨设点P在x轴上方，如图，由抛物线定义可知|PF|=|PM|，|QF|=|QN|，
设直线PQ的倾斜角为θ，则tanθ=eq \r(3)，所以θ=eq \f(π,3)，
由抛物线焦点弦的性质可知，|PF|=eq \f(p,1－csθ)=eq \f(\r(3),1－cs\f(π,3))=2eq \r(3)，
|QF|=eq \f(p,1＋csθ)=eq \f(\r(3),1＋cs\f(π,3))=eq \f(2\r(3),3)，
所以|MN|=|PQ|·sinθ=(|PF|＋|QF|)·sineq \f(π,3)=eq \f(8\r(3),3)×eq \f(\r(3),2)=4，
所以S△MFN=eq \f(1,2)×|MN|×p=eq \f(1,2)×4×eq \r(3)=2eq \r(3)，故选B.
答案为：C；
解析：如图所示，
设P(x0，y0)(y0＞0)，则yeq \\al(2,0)=2px0，即x0=eq \f(y\\al(2,0),2p).
设M(x′，y′)，由eq \(PM,\s\up7(―→))=2eq \(MF,\s\up7(―→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′－x0＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－x′))，,y′－y0＝20－y′，))化简可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(p＋x0,3)，,y′＝\f(y0,3).))
∴直线OM的斜率k=eq \f(\f(y0,3),\f(p＋x0,3))=eq \f(y0,p＋\f(y\\al(2,0),2p))=eq \f(2p,\f(2p2,y0)＋y0)≤eq \f(2p,2\r(2p2))=eq \f(\r(2),2)(当且仅当y0=eq \r(2)p时取等号).
答案为：1.5;
答案为：2.
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)x－1，))消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2=eq \f(2p＋6,3)，x1x2=1，
所以|AB|=2eq \r(x1＋x22－4x1x2)=2 eq \r(\f(2p＋62,9)－4)=eq \f(16,3)，所以p=2.
答案为：eq \f(1,2).
解析：设A(eq \f(y\\al(2,1),4)，y1)，B(eq \f(y\\al(2,2),4)，y2)，易知y1y2≠0，则k1=eq \f(4,y1)，k2=eq \f(4,y2)，所以eq \f(1,k1)＋eq \f(1,k2)=eq \f(y1＋y2,4)，
将x=eq \f(y＋3,2)代入y2=4x，得y2－2y－6=0，所以y1＋y2=2，eq \f(1,k1)＋eq \f(1,k2)=eq \f(1,2).
答案为：eq \r(5).
解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x=－1，
由抛物线的定义知，点P到直线x=－1的距离等于点P到F的距离.
于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的
距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|=eq \r(5).
答案为：(4,4).
解析：设P(x，y)，其中x>0，y>0，由抛物线的定义知|PF|=|PQ|=x＋1.
根据题意知|AF|=2，|QA|=y，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1＋2＋y＝16，,y2＝4x))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝－6))(舍去).
所以点P的坐标为(4,4).
答案为：6；
解析：由抛物线方程为y2=6x，所以焦点坐标Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，准线方程为x=－eq \f(3,2)，
因为直线AF的斜率为－eq \r(3)，
所以直线AF的方程为y=－eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，画图象如图.
当x=－eq \f(3,2)时，y=3eq \r(3)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3\r(3)))，
因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3eq \r(3)，可得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))，
根据抛物线的定义可知|PF|=|PA|=eq \f(9,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))=6.