2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习39《椭圆》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习39《椭圆》(含详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
椭圆ax2＋by2=1(a＞0，b＞0)与直线y=1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为eq \f(\r(3),2)，则eq \f(b,a)的值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2 \r(3),3) C.eq \f(9 \r(3),2) D.eq \f(2 \r(3),27)
已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
已知点P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△MPF1=λS△MF1F2－S△MPF2成立，则λ的值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.2
已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2=1和圆(x－3)2＋y2=4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A.5 B.7 C.13 D.15
以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(2\r(2),3)
已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线eq \f(x2,m)＋y2=1的离心率为( )
A.eq \f(\r(30),6) B.eq \r(7) C.eq \f(\r(30),6)或eq \r(7) D.eq \f(5,6)或eq \r(7)
已知F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，
且eq \(PF1,\s\up7(―→))·(eq \(OF1,\s\up7(―→))＋eq \(OP,\s\up7(―→)))=0(O为坐标原点)，若|eq \(PF1,\s\up7(―→))|=eq \r(2)|eq \(PF2,\s\up7(―→))|，则椭圆的离心率为( )
A.eq \r(6)－eq \r(3) B.eq \f(\r(6)－\r(3),2) C.eq \r(6)－eq \r(5) D.eq \f(\r(6)－\r(5),2)
已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y=x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(10),5) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(2\r(10),5)
设F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的一个焦点，P是C上的点，圆x2＋y2=eq \f(a2,9)与线段PF交于A，B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(\r(10),4) D.eq \f(\r(17),5)
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，
在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3－\r(5),2) C.eq \f(－1＋\r(5),2) D.eq \f(\r(3)－1,2)
已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( )
A.[eq \f(2,3),1) B.[eq \f(1,3),eq \f(\r(2),2)] C.[eq \f(1,3),1) D.(0,eq \f(1,3)]
已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1的两个焦点，P在椭圆上且满足eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))=c2，
则此椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
二、填空题
焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________.
与圆C1：(x＋3)2＋y2=1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为 .
已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2=60°，S△PF1F2=3eq \r(3)，则b= .
设F1、F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为 .
设F1，F2是椭圆eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=4∶3，
则△PF1F2的面积为________.
设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，
则|PM|＋|PF1|的最大值为________.
\s 0 答案解析
答案为：B
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则axeq \\al(2,1)＋byeq \\al(2,1)=1，axeq \\al(2,2)＋byeq \\al(2,2)=1，
即axeq \\al(2,1)－axeq \\al(2,2)=－(byeq \\al(2,1)－byeq \\al(2,2))，eq \f(by\\al(2,1)－by\\al(2,2),ax\\al(2,1)－ax\\al(2,2))=－1，eq \f(by1－y2y1＋y2,ax1－x2x1＋x2)=－1，
∴eq \f(b,a)×(－1)×eq \f(\r(3),2)=－1.∴eq \f(b,a)=eq \f(2 \r(3),3).故选B.
答案为：B；
解析：因为点P(5,2)在椭圆上，
所以|PF1|＋|PF2|=2a，|PF2|=eq \r(5)，|PF1|=5eq \r(5)，所以2a=6eq \r(5)，即a=3eq \r(5)，c=6，
则b=3，故椭圆的短轴长为6，故选B.
答案为：D；
解析：设内切圆的半径为r，因为S△MPF1=λS△MF1F2－S△MPF2，
所以S△MPF1＋S△MPF2=λS△MF1F2；
由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|=2a，|F1F2|=2c，所以ar=λcr，c=eq \r(a2－b2)，
所以λ=eq \f(a,\r(a2－b2))=2.
答案为：B；
解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|=10，
从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2=7.
答案为：D；
解析：不妨令椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0).因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，所以2b=eq \f(2a,3)，即a=3b，则c=eq \r(a2－b2)=2eq \r(2)b，
则该椭圆的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(2\r(2),3).故选D.
答案为：C.
解析：由题意知m2=36，解得m=±6.当m=6时，该圆锥曲线表示椭圆，
此时a=eq \r(6)，b=1，c=eq \r(5)，则e=eq \f(\r(30),6)；
当m=－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a=1，b=eq \r(6)，c=eq \r(7)，则e=eq \r(7).故选C.
答案为：A；
解析：以OF1，OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，
由eq \(PF1,\s\up7(―→))·(eq \(OF1,\s\up7(―→))＋eq \(OP,\s\up7(―→)))=0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，
∴|eq \(OP,\s\up7(―→))|=|eq \(OF1,\s\up7(―→))|，∴△F1PF2是直角三角形，即PF1⊥PF2.设|PF2|=x，则|PF1|=eq \r(2)x，
结合椭圆的性质和三角形勾股定理可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)x＋x＝2a，,\r(2)x2＋x2＝2c2，))∴e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(3),\r(2)＋1)=eq \r(6)－eq \r(3).故选A.
答案为：A；
解析：不妨设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－1)=1(a＞1)，
与直线l的方程联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3，))
消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4=0，
由题意易知Δ=36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥eq \r(5)，
所以e=eq \f(c,a)=eq \f(1,a)≤eq \f(\r(5),5)，所以e的最大值为eq \f(\r(5),5).故选A.
答案为：D；
解析：如图所示，设线段AB的中点为D，
连接OD，OA，设椭圆C的左、右焦点分别为F，F1，连接PF1.
设|OD|=t，因为点A，B是线段PF的两个三等分点，
所以点D为线段PF的中点，所以OD∥PF1，且|PF1|=2t，PF1⊥PF.
因为|PF|=3|AB|=6|AD|=6eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)))2－t2)，
根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF1|=2a，
∴6eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)))2－t2)＋2t=2a，解得t=eq \f(a,5)或t=0(舍去).所以|PF|=eq \f(8a,5)，|PF1|=eq \f(2a,5).
在Rt△PFF1中，|PF|2＋|PF1|2=|FF1|2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8a,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,5)))2=(2c)2，得eq \f(c2,a2)=eq \f(17,25)，
所以椭圆C的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(17),5).
答案为：B.
解析：如图，由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，
由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，
线段F1F2为直径的圆x2＋y2=c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP=c，
即点O到直线AB的距离为c.
又直线AB的方程为y=eq \f(b,a)x＋b，整理得bx－ay＋ab=0，
点O到直线AB的距离d=eq \f(ab,\r(b2＋a2))=c，
两边同时平方整理得，a2b2=c2(a2＋b2)=(a2－b2)(a2＋b2)=a4－b4，可得b4＋a2b2－a4=0，
两边同时除以a4，得(eq \f(b2,a2))2＋eq \f(b2,a2)－1=0，可得eq \f(b2,a2)=eq \f(－1＋\r(5),2)，
则e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(a2－b2,a2)=1－eq \f(b2,a2)=1－eq \f(－1＋\r(5),2)=eq \f(3－\r(5),2)，故选B.
答案为：C；
解析：如图所示，
∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|=|F1F2|=2c，
即椭圆上存在一点P，使得|PF2|=2c.∴a－c≤2c≤a＋c.∴e=eq \f(c,a)∈[eq \f(1,3),1).
答案为：B；
解析：设P(x，y)，则eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1，y2=b2－eq \f(b2,a2)x2，－a≤x≤a，eq \(PF1,\s\up7(―→))=(－c－x，－y)，
eq \(PF2,\s\up7(―→))=(c－x，－y).所以eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))=x2－c2＋y2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(b2,a2)))x2＋b2－c2=eq \f(c2,a2)x2＋b2－c2.
因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))≤b2.所以b2－c2≤c2≤b2.
所以2c2≤a2≤3c2.所以eq \f(\r(3),3)≤eq \f(c,a)≤eq \f(\r(2),2).故选B.
答案为：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)=1.
解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c＝8，,\f(c,a)＝0.8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,c＝4，))又b2=a2－c2，∴b2=9.∴b=3.
当焦点在x轴上时，椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1；
当焦点在y轴上时，椭圆的方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)=1.
答案为：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1.
解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|=r＋1，|PC2|=9－r.
所以|PC1|＋|PC2|=10>|C1C2|=6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，
长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1.
答案为：3；
解析：由题意得|PF1|＋|PF2|=2a，
又∠F1PF2=60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs60°=|F1F2|2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|=4c2，
所以3|PF1||PF2|=4a2－4c2=4b2，所以|PF1||PF2|=eq \f(4,3)b2，
所以S△PF1F2=eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin60°=eq \f(1,2)×eq \f(4,3)b2×eq \f(\r(3),2)=eq \f(\r(3),3)b2=3eq \r(3)，所以b=3.
答案为：-5；
解析：由椭圆的方程可知F2(3,0)，
由椭圆的定义可得|PF1|=2a－|PF2|，
∴|PM|－|PF1|=|PM|－(2a－|PF2|)=|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，
当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
又|MF2|=eq \r(6－32＋4－02)=5,2a=10，∴|PM|－|PF1|≥5－10=－5，
即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
答案为：24.
解析：因为|PF1|＋|PF2|=14，又|PF1|∶|PF2|=4∶3，所以|PF1|=8，|PF2|=6.
因为|F1F2|=10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2=eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|=eq \f(1,2)×8×6=24.
答案为：15.
解析：在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1中，a=5，b=4，c=3，所以焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3,0).
根据椭圆的定义得|PM|＋|PF1|=|PM|＋(2a－|PF2|)=10＋(|PM|－|PF2|).
∵|PM|－|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号，
∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|－|PF2|)max=eq \r(6－32＋4－02)=5，
此时得|PM|＋|PF1|的最大值，为10＋5=15.