(通用版)中考数学二轮专题复习《直线型的计算和证明综合问题》专项练习(含答案)

直线型的计算和证明综合问题专项练习

1. 已知，是△的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转角，交边于点，交射线于点，设，.

（1）如图1，当△为等边三角形且°时，证明：△∽△；

（2）如图2，证明：；

（3）如图3，当是上任意一点时（点不与重合），过点的直线交边于点，交射线于点，设，，，猜想： 是否成立？并说明理由。[来源:Z#xx#k.Com]

2. 如图1，矩形的边在轴上，抛物线经过点、点，与轴交于点、点，且其顶点在上。

（1）请直接写出下列各点的坐标：

        ，        ，        ，        ；

（2）若点是抛物线上一动点（点不与点、点重合），过点作轴的平行线与直线交于点，与直线交于点，如图2。

①当线段=时，求点的坐标；

②当点在直线下方时，点在直线上，且满足△∽△，求△面积的最大值。

　[来源:学科网ZXXK]

          图1                     图2                        备用图[来源:学。科。网Z。X。X。K]

3. 如图，在直角梯形中，∥，⊥，，，，点沿线段从点向点运动，设。

（1）求的长；

（2）点在运动过程中，是否存在以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）设与的外接圆的面积分别为、，若，求的最小值。

直线型的计算和证明综合问题专项练习

参考答案

1. （1）证明：在△中，，

∴

在△中，，

∴。

（2）证明：如图甲，作//交于点，则

∴

又≌

∴

∴

∴

即。

（3）猜想成立。理由如下：①如图乙，过作∥交于点，交的延长线于点，则

∴，

即，

由（2）知

∴

②如图丙，当过点作∥交的延长线于点，交于点，同理则可得。

[来源:Zxxk.Com]

2. 解：（1）A（0，3），B（4，3），C（4，－1），D（0，－1）。  [来源:Zxxk.Com]

（2）①设直线BD的解析式为，由于直线BD经过D（0，－1），B（4，3），

∴，解得，∴直线BD的解析式为。

设点P的坐标为，则点H，点G。

1°当且x≠4时，点G在PH的延长线上，如图①。

∵PH＝2GH，∴，

∴，解得，。

当时，点P，H，G重合于点B，舍去。

∴，∴此时点P的坐标为。       

2°当时，点G在PH的反向延长线上，如图②，PH＝2GH不成立。

3°当时，点G在线段PH上，如图③。

∵PH＝2GH，∴，

∴，解得，（舍去），

∴，此时点P的坐标为。

综上所述可知，点P的坐标为或。 

         图①                     图②                       图③

②如图④，令，得，，∴E，F，∴EF＝2。

∴S△AEF=。     

图④

∵∽，∴，

∴ 。 

∵，

∴当时，的最大值为。

3. 解：（1）过点作于点。在Rt中，，。

∴，

∴。

（2）存在.若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，

则必有一个角是直角。

①当时，在Rt中，，，

∴.

又由（1）知，在Rt中 ，，

∴，∴.

∴∽。

②当时，在Rt中，，，

∴，，∴.

则且，此时与不相似.

∴存在与相似，此时.

（3）如图，因为Rt外接圆的直径为斜边，

∴.

①当时，作的垂直平分线交于点，交于点；作的垂

直平分线交于点，交于点，连接。则为外接圆的半径.

在Rt中，，，∴，

又，∴.

在Rt中，∴.

在Rt中，，

∴.

②当时，也成立。

∴.

∴当时，取得最小值。