(通用版)中考数学二轮复习《几何证明与计算》专题复习训练（含答案）

几何证明与计算 专题复习训练题

1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．

(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；

(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．

2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.

(1)求证：△ADE≌△FCE；

(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．

3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.

(1)求证：AG＝CG；

(2)求证：AG2＝GE·GF.

4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.

(1)求AD的长；

(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)

5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.

(1)求证：△BCE≌△DCF；

(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．

6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G.

(1)求证：BG＝DE；

(2)若点G为CD的中点，求的值．

7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.

(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；

(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．

8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.

(1)求证：△ACD∽△BFD；

(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．

9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.

(1)求证：AG＝CG；

(2)求证：AG2＝GE·GF.

10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.

(1)求证：AD＝AF；

(2)求证：BD＝EF；

(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．

11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.

(1)如图①，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；

(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.

12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.

(1)求证：△ABM∽△EFA；

(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．

参考答案：

1.  解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

在△BDG和△ADC中，

，∴△BDG≌△ADC.

∴BG＝AC，∠BGD＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°，

E，F分别是BG，AC的中点，∴DE＝BG＝EG，

DF＝AC＝AF.∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD.

∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE⊥DF.

(2)∵AC＝10，∴DE＝DF＝5，由勾股定理，得EF＝＝5.

2.  解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.

∴∠D＝∠ECF.在△ADE和△FCE中，

∴△ADE≌△FCE(ASA)．

(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC，AB＝2BC，

∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°.

3.  证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，

∠ADB＝∠CDB.又GD为公共边，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG＝CG.

(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG.∵AB∥CD，

∴∠DCG＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE，

∴△AGE∽△FGA.∴＝.∴AG2＝GE·GF.

4.  解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.

∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB＝30°.

在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6.

(2)∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，

∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF＝∠DAF.

∴AF＝DF.∴四边形AEDF是菱形．∴AE＝DE＝DF＝AF.

在Rt△CED中，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B＝30°.

∴DE＝＝2.∴四边形AEDF的周长为8.

5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，

AB＝BC＝DC＝AD.∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，

∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC.

在△BCE和△DCF中，

∴△BCE≌△DCF(SAS)．

(2)当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，

理由如下：由(1)得AE＝OE＝OF＝AF，

∴四边形AEOF是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，

∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF是正方形．

6.  解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°.∵∠BCG＝90°，

∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE.

在△BCG与△DCE中.

∴△BCG≌△DCE(ASA)，∴BG＝DE.

(2)设CG＝x，∵G为CD的中点，∴GD＝CG＝x，

由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG＝CE＝x.

由勾股定理可知DE＝BG＝x，∵sin∠CDE＝＝，

∴GF＝x.∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH.∴＝＝.

∴BH＝x，GH＝x.∴＝.

7.  解：(1)结论：AG2＝GE2＋GF2.理由：连接CG.

∵四边形ABCD是正方形，∴点A，C关于对角线BD对称．

∵点G在BD上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，

∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC是矩形．

∴CF＝GE.在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2.

(2)过点B作BN⊥AG于点N，在BN上取一点M，使得AM＝BM.

设AN＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG＝∠FGB＝∠ABG＝45°，

∴∠AGB＝60°，∠GBN＝30°，∠ABM＝∠MAB＝15°.

∴∠AMN＝30°.∴AM＝BM＝2x，MN＝x.

在Rt△ABN中，∵AB2＝AN2＋BN2，∴1＝x2＋(2x＋x)2，

解得x＝，∴BN＝.∴BG＝＝.

8.  解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD　

(2)∵tan∠ABD＝1，∠ADB＝90°，∴＝1，∵△ACD∽△BFD，∴＝＝1，∴BF＝AC＝3

9.  解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG＝CG

(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，∵AB∥CD，∴∠DCG＝∠F，∴∠EAG＝∠F，∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE∽△FGA，∴＝，∴AG2＝GE·GF

10.  解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°，∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD，∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD，可证△ABF≌△ACD(SAS)，∴AD＝AF

(2)由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB＝∠DAC，∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS)，∴BD＝EF

(3)四边形ABNE是正方形．理由如下：∵CD＝CB，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE是矩形，又∵AE＝AB，∴四边形ABNE是正方形

11.  解：(1)∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，

∴AM＝BM＝ABcos45°＝3×＝3.

则CM＝BC－BM＝5－3＝2，∴AC＝＝＝.

(2)证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG.∵DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC(SAS)．∴AC＝BD.又CE＝AC，∴BD＝CE.∵BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE，∠G＝∠E.∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G＝∠E.

12.  解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EAF.

又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA.

(2)∵∠B＝90°，AB＝AD＝12，BM＝5，∴AM＝＝13.

∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5.∵△ABM∽△EFA，

∴＝，即＝.∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9.