(通用版)中考数学二轮专题复习《正方形的计算和证明问题》专项练习(含答案)

正方形的计算和证明问题专项练习

1. 提出问题：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；

类比探究：

（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在边AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；

综合运用：

（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积。

2. 如图1，点为正方形的中心。

（1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连接，，，请依题意补全图1；

（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系；

（3）如图2，点是中点，△是等腰直角三角形，是的中点，，，，△绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值。

3. 如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）。点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动。连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D。BD与y轴交于点E，连接PE。设点P运动的时间为t（s）。

（1）∠PBD的度数为　  　，点D的坐标为　   　（用t表示）；

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值。

正方形的计算和证明问题专项练习

参考答案

1.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH。

∴∠HAO+∠OAD=90°。

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°。

∴∠HAO=∠ADO。

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH。

（2）EF=GH。理由如下：

将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF。

将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH。

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；

（3）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD

∴∠AHO=∠CGO

∵FH∥EG

∴∠FHO=∠EGO

∴∠AHF=∠CGE

∴△AHF∽△CGE

∴

∵EC=2

∴AF=1

过F作FP⊥BC于点P，

根据勾股定理得EF=，

∵FH∥EG，

∴

根据（2）知EF=GH，

∴FO=HO。

∴，

，

∴阴影部分面积为。

2. 解：

（1）正确画出图形，如下图所示：

（2）延长交于点，交于点

∵为正方形的中心，

∴，∠＝90             

∵绕点逆时针旋转90角得到

∴

∴∠＝∠＝90

∴∠＝∠           

在△和△中，

，，∠＝∠，[来源:学科网]

∴△≌△

∴

∴∠＝∠

∵∠+∠

∴∠+∠=90

∴⊥                  

（3）的最大值为      

3. 解：（1）如图1，

由题意可得：AP=OQ=1×t=t

∴AO=PQ。

∵四边形OABC是正方形，

∴AO=AB=BC=OC，[来源:学科网]

∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°。

∵DP⊥BP，

∴∠BPD=90°。

∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ。

∵AO=PQ，AO=AB，

∴AB=PQ。

在△BAP和△PQD中，

[来源:Z_xx_k.Com]

∴△BAP≌△PQD。

∴AP=DQ，BP=PD。

∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°。

∵AP=t，

∴DQ=t。

∴点D坐标为（t，t）。

故答案为：45°，（t，t）。

（2）①若PB=PE，

则∠PBE=∠PEB=45°。

∴∠BPE=90°。

∵∠BPD=90°，

∴∠BPE=∠BPD。

∴点E与点D重合。

∴点Q与点O重合。

与条件“DQ∥y轴”矛盾，

∴这种情况应舍去。

②若EB=EP，

则∠PBE=∠BPE=45°。

∴∠BEP=90°。

∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC。

在△POE和△ECB中，

∴△POE≌△ECB。

∴OE=BC，OP=EC。[来源:学#科#网Z#X#X#K]

∴OE=OC。

∴点E与点C重合（EC=0）。

∴点P与点O重合（PO=0）。

∵点B（﹣4，4），

∴AO=CO=4。

此时t=4。

③若BP=BE，

在Rt△BAP和Rt△BCE中，

∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）。

∴AP=CE。

∵AP=t，

∴CE=t。

∴PO=EO=4﹣t。

∵∠POE=90°，

∴PE=

=（4﹣t）。

延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示。[来源:学|科|网]

在△FAB和△ECB中，

∴△FAB≌△ECB。

∴FB=EB，∠FBA=∠EBC。

∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠EBC=45°。

∴∠FBP=∠FBA+∠ABP

=∠EBC+∠ABP=45°。

∴∠FBP=∠EBP。

在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP。

∴FP=EP。

∴EP=FP=FA+AP=CE+AP。

∴EP=t+t=2t。

∴（4﹣t）=2t。

解得：t=4﹣4

∴当t为4秒或（4﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形。

（3）∵EP=CE+AP，

∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE

=AO+CO

=4+4

=8。

∴△POE的周长是定值，该定值为8。