(通用版)中考数学二轮专题复习《折叠旋转翻折》专项练习(含答案)

翻折及其应用提分技巧专项练习

1. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠A、∠B均为锐角。

（1）当∠A=∠B时，则CD与AB的位置关系是CD     AB，大小关系是CD     AB；

（2）当∠A>∠B时，（1）中CD与AB的大小关系是否还成立，证明你的结论。

[来源:学科网ZXXK]

2. 已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且有AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD。

（1）求证：△ABC为等腰三角形；

（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线上，连接FM，∠BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF中点，连接MH，当GN=GD时，探究线段CD、FM、MH之间的数量关系，并证明你的结论。

3. 问题：已知△ABC中，BAC=2ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究DBC与ABC度数的比值。

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。

（1）当BAC=90时，依问题中的条件补全下图。

观察图形，AB与AC的数量关系为        ；[来源:学。科。网]

当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为        ；

可得到DBC与ABC度数的比值为        。

（2）当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

翻折及其应用提分技巧专项练习

参考答案

1. （1）如图1，CD∥AB，CD<AB。

（2）CD<AB还成立。               

证明如下：如图2，分别过点D、B作BC、CD的平行线，两线交于F点。

∴ 四边形DCBF为平行四边形。

∴

∵ AD=BC， ∴ AD=FD。     

作∠ADF的平分线交AB于G点，连接GF。

∴ ∠ADG=∠FDG。               

在△ADG和△FDG中

∴ △ADG≌△FDG，∴ AG=FG。 

∵在△BFG中，。    

∴                 

∴ DC<AB。              

2. （1）证明：如图1，作∠BAP=∠DAE，AP交BD于P，

图1

设∠CBD=α，∠CAD=β，

∵∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠APE=∠BAP+∠ABD，

∴∠APE=∠ADE，AP=AD。

∵AC⊥BD

∴∠PAE=∠DAE=β，

∴∠PAD=2β，∠BAD=3β。

∵∠BAD=3∠CBD，

∴3β=3α，β=α。

∵AC⊥BD，

∴∠ACB=90°－∠CBE=90°－α=90°－β。

∵∠ABC=180°－∠BAC－∠ACB=90°－β，

∴∠ACB=∠ABC，

∴△ABC为等腰三角形；

（2）2MH=FM+CD。

证明如下：如图2，

图2

由（1）知AP=AD，AB=AC，∠BAP=∠CAD=β，

∴△ABP≌△ACD，

∴∠ABE=∠ACD。

∵AC⊥BD，

∴∠GDN=90°－β，

∵GN=GD，

∴∠GND=∠GDN=90°－β，

∴∠NGD=180°－∠GND－∠GDN=2β。

∴∠AGF=∠NGD=2β。

∴∠AFG=∠BAD－∠AGF=3β－2β=β。

∵FN平分∠BFM，

∴∠NFM=∠AFG=β，

∴FM∥AE，

∴∠FMN=90°。

∵H为BF的中点，[来源:学,科,网Z,X,X,K]

∴BF=2MH。

在FB上截取FR=FM，连接RM，

∴∠FRM=∠FMR=90°－β。

∵∠ABC=90°－β，

∴∠FRM=∠ABC，

∴RM∥BC，

∴∠CBD=∠RMB。

∵∠CAD=∠CBD=β，

∴∠RMB=∠CAD。

∵∠RBM=∠ACD，

∴△RMB∽△DAC，

∴，

∴BR=CD。

∵BR=FB－FM，

∴FB－FM=BR=CD，

FB=FM+CD。

∴2MH=FM+CD。

3.（1）相等；15；1：3[来源:学§科§网][来源:学科网]

解：∵∠BAC=90°，

∴∠ACB=45°

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC

∵∠DAC=15°

∴∠BAD=75°

∵BD=BA

∴∠ABD=30°

∴∠CBD=15°

∴∠DBC：∠ABC=1：3

（2）猜想：DBC与ABC度数的比值与（1）中结论相同。

证明如下：如图，作KCA=BAC，过B点作BK//AC交CK于点K，

连接DK。∵BAC90，∴四边形ABKC是等腰梯形，

∴CK=AB，∵DC=DA，∴DCA=DAC，∵KCA=BAC，

∴KCD=3，∴△KCD≌△BAD，∴2=4，KD=BD，

∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴ACB=6，

∵KCA=2ACB，∴5=ACB，∴5=6，∴KC=KB，

∴KD=BD=KB，∴KBD=60，∵ACB=6=601，

∴BAC=2ACB=12021，

∵1（601）（12021）2=180，∴2=21，

∴DBC与ABC度数的比值为1：3。

旋转及其应用难点突破专项练习

1. 阅读下列材料：

小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形。

他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG。

请你参考小明的做法解决下列问题：

（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示。请将其分割后拼接成一个平行四边形。要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；

（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ。

请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）。

2. 数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，连接PB，那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？

经过思考后，部分同学进行了如下的交流：

小蕾：我将图形进行了特殊化处理，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想：PA2+PC2=PB2 。

小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB 后得到△P′CB ，并且可推出△PBP′ ，△PCP′ 分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法。

这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：

（1）如图2，点P在∠ABC的内部，

①PA=4，PC=，PB=     。

②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系，并证明。

（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明。

3. （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE。求证：CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD。

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10， 求直角梯形ABCD的面积。

[来源:学科网]

旋转及其应用难点突破专项练习

参考答案

1. 解：

（1）拼接成的平行四边形是ABCD（如图3）。[来源:学科网]

（2）正确画出图形（如图4），平行四边形MNPQ的面积为。

2.（1）①；

②。   [来源:学|科|网Z|X|X|K]

证明：如图，作∠PBP′＝∠ABC＝60°，且使BP′＝BP，连接P′C、P′P。

∴∠1＝∠2。

∵AB＝CB，

∴△ABP≌△CBP′。  

∴PA＝P′C，∠A＝∠BCP′。

在四边形ABCP中，

∵∠ABC＝60°，∠APC＝30°，

∴∠A＋∠BCP＝270°。

∴∠BCP′＋∠BCP＝270°。

∴∠PCP′＝360°－(∠BCP′＋∠BCP)＝90°。

∵△PBP′是等边三角形。

∴PP′＝PB。

在Rt△PCP′中，，

∴。

（2）点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例如下：

如图，当点P在CB的延长线上时，

结论为。

3. （1）证明：在正方形ABCD中，

∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF。

∴CE＝CF。 

（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF。

由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF。

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD

即∠ECF＝∠BCD＝90°，

又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°。

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，[来源:学#科#网Z#X#X#K]

∴△ECG≌△FCG，

∴GE＝GF，

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。

（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于点G。

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，

又∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四边形ABCD 为正方形。 [来源:Z,xx,k.Com]

∴AG＝BC。

已知∠DCE＝45°，

根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG。

所以10=4+DG，即DG=6。

设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6

在Rt△AED中，∵，即。

解这个方程，得：x＝12，或x＝－2（舍去）。

∴AB＝12。 

所以直角梯形ABCD的面积为S=。

折叠问题的计算和证明难点突破专项练习

1. 已知：如图，四边形是矩形，，，将矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点。

（1）求的长；

（2）求过三点的抛物线的解析式；

（3）若F为经过O、D、C三点的抛物线的顶点，一动点P从A点出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1∶3的两部分？

2. 如图，矩形OABC的边OC、OA分别与轴、轴重合，点B的坐标是，点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD翻折，点A落在点P处。[来源:学科网]

（1）若点P在一次函数的图象上，求点P的坐标；

（2）若点P在抛物线的图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；

（3）当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值。

折叠问题的计算和证明难点突破专项练习

参考答案

1. 解：（1）四边形是矩形，并将矩形沿直线折叠，使点落在处，，。

又，。

。[来源:学#科#网Z#X#X#K]

在Rt△OEA中，

，

即，

解之，得。        

（2）。如图，过点作于点，

∴△DEG∽△CDE。

，。，。。

∵点为坐标原点，故可设过三点抛物线的解析式为。

解之，得

∴。

（3）抛物线的对称轴为，其顶点坐标为。

∴设直线的解析式为，则解之，得

。   

设直线交直线于，过点作于点。

。。

∵或，

或，或。[来源:学_科_网]

或，即或。

，。    

直线的解析式为。当时，。

直线的解析式为。当时，。

当秒或秒时，直线把分成面积之比为的两部分。

2. 解：（1）

∵点P在一次函数的图象上，

∴设P。

如图1，过P作PH⊥轴于H。

图1

在中，PH＝，OH＝，OP=1，

∴                               

解得：，（不合题意，舍去）。

∴P。

（2）连接PB、PC，

①若PB=PC，则P在BC中垂线上。

∴设P。如图2，过P作PH⊥轴于H。

在中，PH＝，OH＝，OP=1，

∴。

解得：，（不合题意，舍去）。

∴P，∴，  解得：。

∴。

②若BP=BC，则BP=1，连接OB。

∵OP=1，

∴OP+PB=2。[来源:学.科.网Z.X.X.K]

∵在中，∠OCB=90°，OB=。

∴OP+PB=OB，

∴O、P、B三点共线，P为线段OB中点。

又∵

∴P，∴，解得：。

∴。

③若CP=CB，则CP=1，

∵OP=1，

∴OP=CP，则P在OC中垂线上。

∴设P，过P作PH⊥轴于H。

在中，PH＝，OH＝，OP=1，

∴

解得：，。

∴P或P。

当点P时，∠AOP＝120°，此时∠AOD＝60°，点D与点B重合，符合题意。

若点P，则，解得：。∴。

若点P，则，解得：。  

∴

（3）如答图3，∵△OAD沿OD翻折，点A落在点P处，[来源:学科网]

图3

∴OD垂直平分AP。

∵PC⊥OD，

∴A、P、C三点共线。

在中，∠OAD=90°，OA=1，

又可得：∠AOD=30°，

∴AD=AO•，∴D。      

作点B关于直线AC的对称点，过点作⊥AB于点N，连接，与AC交点为M，此点为所求点。

∵∠=∠=60°，∠=30°，

∴∠=30°。

∵，

∴,   ∴

在中，∠=90°，，，

∴。

∴DM+BM的最小值为。