(通用版)中考数学二轮专题复习《最值问题高分突破》专项练习(含答案)

最值问题高分突破(1)专项练习

1. 已知：，，以AB为一边作等边三角形ABC，使C、D两点落在直线AB的两侧。

（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；

（2）当∠ADB变化，且其他条件不变时，求CD的最大值，及相应∠ADB的大小。

2. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点。

（1）如图（1），若AC平分，=90°, 则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为                        ；（直接写出答案）

（2）如图（2），AC平分， EC平分，若，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；

（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，，则线段AE长度的最大值是______（直接写出答案）。

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

3. 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，，AD=3，BC=4，以点D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转α至DE。

（1）当α=90°时，连接AE，则△EAD的面积等于          （直接写出结果）；

（2）当0°＜α＜180°时，连接BE，请问BE能否取得最大值？若能，请求出BE的最大值；若不能，请说明理由；

（3）当0°＜α＜180°时，连接CE，请问α为多少度时，△CDE的面积是。

最值问题高分突破(1)专项练习

参考答案

[来源:学+科+网]

1. 解：（1）如图，过点A作于点G 。

∵∠ADB=60°，  ∴，，

∴ ，∴ tan，∴°，，

 ∵△ABC是等边三角形，∴ ，，

由勾股定理得：。

（2）作°，且使，连接ED、EB。

∵ △ABC是等边三角形，∴，°，

∴，

即，∴△EAB≌△DAC。

∴EB=DC 。当点E、D、B在同一直线上时，EB最大，

∴，∴ CD 的最大值为6，此时°。

2. （1）AE=AB+DE

（2）AE=AB+DE+。

证明：如图，在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，

在AE上取点G，使EG=ED，连接CG。

∵C是BD边的中点，∴CB=CD=。

∵AC平分，∴∠BAC=∠FAC。[来源:学科网]

∵AF=AB，AC=AC， ∴△ABC≌△AFC. ∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA。

同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE。

∵CB=CD，∴CG=CF。∵，∴。

∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC=。

∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+。

（3）10+4

沿AC将△ABC翻折至△ACF，沿CE将△ECD翻折至△ECG，连接AF、FG、EG，当A、F、G、E四点共线时，AE最长。

∵C是BD边的中点

∴。

∵△ABC≌△ACF

∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA。

同理可证：CD=CG，

∴∠DCE=∠GCE。

∵CB=CD，∴CG=CF    ∵∠ACE=135°，。

∴∠FCA+∠GCE=45°，∴∠FCG=90°。∴△FGC是等腰直角三角形，∴FC=。

∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4  ∵AE=AF+FG+GE，∴AE=AB+4+DE。

∵AB=2，DE=8，∴AE=10+4。

3. （1）

作DH⊥BC于点H，EG⊥AD交AD的延长线于点G，如图1，

∵AD∥BC，AB⊥BC，∴四边形ABHD为矩形，

∴，BH=AD=3，

∴，

∵以点D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转90°至DE，

即把Rt△DHC逆时针旋转90°得到Rt△DGE，

∴EG=HC=1，∴。

（2）BE能取得最大值，当B、D、E三点共线时，BE最大。

如图2，在Rt△DHC中，，HC=1，∴DC=，∴DE=2，[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:学科网]

在Rt△DBH中，BH=3，，∴BD=，

∴；

（3）当α为锐角时，过E点作EF⊥DC于点F，如图3，

∵DC=DE=2，

∴，

∴，

∴，∴∠EDF=60°，∴α=60°，

当α为钝角时，过E点作EF⊥DC交CD的延长线于F点，如图4，

同样可得到∠EDF=60°，∴，

∴α为60°或120°时，△CDE的面积是。

最值问题高分突破(2)专项练习

1. 已知，如图，二次函数的图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称。

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值。

2. 已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点A（－1，0），对称轴与轴交于点C，顶点为B。

（1）求的值及对称轴方程；

（2）设点P为射线BC上任意一点（B、C两点除外），过P作BC的垂线交直线AB于点D，连接PA。设△APD的面积为S，点P的纵坐标为m，求S与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；             

（3）设直线AB与y轴的交点为E，如果某一动点Q从E点出发，到抛物线对称轴上某点F，再到x轴上某点M，从M再回到点E。如何运动路径最短？请在下面直角坐标系中画出最短路径，并写出点M的坐标和运动的最短距离。

3. 已知二次函数的图象经过原点。

（1）请求出m的值及图象与x轴的另一交点的坐标；[来源:学。科。网Z。X。X。K]

（2）若把（1）中求得的函数的图象沿其对称轴上下平行移动，使顶点移到直线上，请求出此时函数的解析式；

（3）若在（1）中求得的函数的图象上，已知有一点E在x轴上，点F在抛物线上，且点E和点F的横坐标都为，能否在抛物线的对称轴上找一点P，使得PE+PF最短？若能，请求出这个最短距离；若不能，请说明理由。

最值问题高分突破(2)专项练习

参考答案

1. （1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0），

解得x1=﹣3，x2=1，

∵B点在A点右侧，

∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0）

证明：∵直线l：，

当x=﹣3时，，[来源:学科网ZXXK]

∴点A在直线l上。

（2）∵点H、B关于过A点的直线l：对称，

∴AH=AB=4，[来源:Zxxk.Com]

过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，

则，，

∴顶点，

代入二次函数解析式，解得，

∴二次函数解析式为

（3）直线AH的解析式为 ，

直线BK的解析式为，

由 ，解得，

即，则BK=4，

∵点H、B关于直线AK对称，，[来源:Z|xx|k.Com]

∴HN+MN的最小值是MB，

过K作KD⊥x轴于点D，作点K关于直线AH的对称点Q，

连接QK，交直线AH于点E，，则QM=MK，，AE⊥QK，

∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，∴∠BKQ=∠HEQ=90°，

由勾股定理得，

∴HN+NM+MK的最小值为8。

2.（1），对称轴方程为

∵抛物线y=ax2+4x+5过点A（-1，0），

∴a=-1。

∴对称轴方程为

（2）S与m的函数关系式为

∵点A为（-1，0），点B为（2，9），

∴直线AB的解析式为y=3x+3。

依题意知点P的坐标为（2，m）。

∴点D的坐标为

故S与m的函数关系式为

（3）如图：作点E关于x=2的对称点E′，

再作点E关于x轴对称的点E''，

连接E′E''交x轴于点M，

连接EM（F与M重合）。

则点Q运动的最短路径为：E→F（M）→E。

其中，点M的坐标为（2，0）；最短距离为。

3.（1） ；图象与x轴的另一交点的坐标是（2，0）

∵二次函数y=（m-1）x2+4x+m2-1的图象经过原点。

∴m2-1=0，

解得：m=±1，

∵m-1≠0，

∴m=-1　

∴此二次函数的解析式的解析式为：y=-2x2+4x，

∵-2x2+4x=0，

解得：x1=0，x2=2，

∴图象与x轴的另一交点的坐标是（2，0）；

（2）[来源:学。科。网Z。X。X。K]

∵y=-2x2+4x=-2（x-1）2+2，

∴顶点的横坐标为1，

∴

∴新函数的顶点坐标为

∴此时函数的解析式为

（3）能在抛物线的对称轴上找一点P，使得PE+PF最短。

∵点E在x轴上，点F在抛物线上，

且点E和点F的横坐标都为，

∴，

当时，，

∴，

取E关于抛物线对称轴x=1的对称点，

连接E′F，交抛物线对称轴x=1于P点，

此时即为所求，

∵；

∴最短距离为。