(通用版)中考数学二轮专题复习《几何证明综合题》专项练习(含答案)

几何证明综合题热点聚焦(1)专项练习

1. 已知：在△AOB与△COD中，OA＝OB，OC＝OD，。

（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连接AD、BC，点M为线段BC的中点，连接OM，则线段AD与OM之间的数量关系是__________，位置关系是__________。

（2）如图2，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为（）。连接AD、BC，点M为线段BC的中点，连接OM。请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立。若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（3）如图3，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转到使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点。请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明。

2. 在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转。

（1）当点O为AC中点时，

①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；

②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立。若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若，求的值。

3. 在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上（点E、C不重合）。

（1）如图1，若AB=BC，点M、A重合，E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及的值，并证明你的结论；

（2）如图2，且若AB=BC，点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立，若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立，若不成立，请直接写出你的结论。

[来源:学#科#网]

几何证明综合题热点聚焦(1)专项练习

参考答案

1.（1）AD =2OM，

（2）（1）中的两个结论仍然成立。

证明如下：如图2，延长BO到F，使FO=BO，连接CF。

∵M为BC中点，O为BF中点，

∴MO为的中位线，∴FC =2OM

∵∠AOB =∠AOF=∠COD=90°，∴∠AOD =∠FOC。

∵AO =FO，CO=DO， ∴△AOD≌△FOC。

∴FC=AD，∴AD =2OM。

∵MO为的中位线，

∴MO∥CF，∴∠MOB =∠F。[来源:学科网ZXXK][来源:学|科|网]

又∵，∴=。

∵+=90°，∴+=90°，即。

（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化。

证明如下：如图3，延长DC交AB于点E，连接ME，过点E作于点N。

∵OA＝OB，OC＝OD，，

∴。

∴AE＝DE，BE＝CE，∠AED=90°。

∴DN=AN，∴AD＝2NE。

∵M为BC的中点，∴。

∴四边形ONEM是矩形，∴NE＝OM，∴AD＝2OM。

2. （1）①猜想：。

②成立。证明如下：连接OB。

∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，

∴，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°。

∴∠EBO=∠FCO。

∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC。 又∵∠EBO=∠FCO，

∴ΔOEB≌ΔOFC（ASA），∴BE=CF。

又∵BA=BC，∴AE=BF。

在RtΔEBF中，∵∠EBF=90°，，。

（2）解：如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N。

∵∠B=90°，∴∠MON=90°。

∵∠EOF=90°，

∴∠EOM=∠FON。 

∵∠EMO=∠FNO=90°，∴ΔOME∽ΔONF。[来源:学*科*网]

∴

∵ΔAOM和ΔOCN为等腰直角三角形，[来源:学科网ZXXK]

∴ΔAOM∽ΔOCN，∴。∵，∴。

3. （1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE；=。

证明如下：如图，过点E作EG⊥AF于点G，则∠EGN=90°。

∵ 矩形ABCD中，AB=BC，∴矩形ABCD为正方形。

∴ AB =AD =CD，∠A=∠ADC =∠DCB =90°。

∴ EG//CD，∠EGN =∠A，∠CDF =90°。  

∵ E为CF的中点，EG//CD，∴ GF=DG =，∴

∵ N为MD(AD)的中点，∴ AN=ND=

∴ GE=AN，NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB。 

∴ △NGE≌△BAN，∴ ∠1=∠2。

∵ ∠2+∠3=90°，∴ ∠1+∠3=90°，∴ ∠BNE =90°，∴ BN⊥NE。

∵ ∠CDF =90°，CD=DF，可得 ∠F =∠FCD =45°，

于是。

（2）在（1）中得到的两个结论均成立。

证明如下：如图，延长BN交CD的延长线于点G，

连接BE、GE，过E作EH⊥CE，交CD于点H。

∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CG。∴ ∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN。

∵ N为MD的中点，∴ MN=DN，∴ △BMN≌△GDN，∴ MB=DG，BN=GN。

∵ BN=NE，∴ BN=NE=GN，∴ ∠BEG=90°。

∵ EH⊥CE，∴∠CEH =90°，∴∠BEG=∠CEH，∴∠BEC=∠GEH。

由（1）得∠DCF =45°，∴ ∠CHE=∠HCE =45°，∴ EC=EH，∠EHG =135°。

∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°，∴ ∠ECB =∠EHG，∴ △ECB≌△EHG。

∴ EB=EG，CB=HG。

∵ BN=NG，∴ BN⊥NE。

∵，∴=。

（3）不一定等于；BN⊥NE。

几何证明综合题热点聚焦（2）专项练习

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。动点P从点A开始沿折线AC－CB－BA运动，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位。直线l 从与AC重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持l∥AC，且分别与CB、AB边交于E、F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动。

（1）当t = 5秒时，点P走过的路径长为________；当t =________秒时，点P与点E重合；

（2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，点F的对应点记为点N，当EN⊥AB时，求t的值；

（3）当点P在折线AC－CB－BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q。在点P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值。

2. 如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒。解答如下问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BO？

（2）设△AQP的面积为S，[来源:学&科&网Z&X&X&K]

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标称为“向量PQ”的坐标。当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标。

3. 在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1。

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1，若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值。

[来源:Zxxk.Com]

几何证明综合题热点聚焦（2）项练习

参考答案

1.（1）19；3

（2）如图，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为点N，可知∠PEF=∠MEN，都等于△PEF绕点E旋转的旋转角，记为α。

设，则CP=，。

∵ EF∥AC，∠C=90°，∴ ∠BEF=90°，∠CPE =∠PEF=α。

∵ EN⊥AB，∴ ∠B=∠MEN=α，∴。

∵，，

∴ ，∴ ，解得。

（3）如图1，当P点在AC上时（0＜t≤2），

∴，∴，

∵EF∥AC，∴△FEB∽△ACB，

，∴。

∵四边形PEQF是菱形，

∴∠POE=90°，，

∵EF∥AC，∠C=90°，∴∠OEC=90°，

∴四边形PCEO是矩形，∴OE=PC。

∴， ∴，

如图2，当P在AB上时（4＜t＜6），

∵四边形PFQE是菱形，∴PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，

∵EF∥AC，∠C=90°，∴∠FEB=∠FEP+∠PEB=90°，

∴∠B+∠EFB=90°，∴∠B+∠FEP=90°，∴∠PEB=∠B，∴PE=PB。

∵，∴，∵，

∴，∴    

∵ ，∴

∵△FEB∽△ACB，∴，∴，∴t= 

∴ t的值为秒或秒。

2. （1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），

则OB=6，OA=8。

∴。

如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则。

∵PQ∥BO，∴，即，解得t=。

∴当t=秒时，PQ∥BO。

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10。

①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO。

∴△APD∽△ABO。

∴，即，解得。

∴。

∴S与t之间的函数关系式为：S=（0＜t＜）。

∴当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。

②如图②所示，当S取最大值时，t=，∴，∴PD=BO。

又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4。∴P（4，3）。

又AQ=2t=，∴，∴Q（，0）。

依题意，“向量PQ”的坐标为，即。

∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）。

3. （1）如图1，依题意得：△A1C1B≌△ACB。

∴BC1=BC，∠A1C1B =∠C=30°。

∴∠BC1C = ∠C=30°。

∴∠CC1A1= 60°。

（2）如图2，由（1）知：△A1C1B≌△ACB。

∴A1B = AB，BC1 = BC，∠A1BC1 =∠ABC。[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:学,科,网Z,X,X,K]

∴∠1 = ∠2，

∴ △A1BA∽△C1BC    

∴。

∵，∴。

（3）线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值为1。

①如图a，过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵∠ACB=30°，∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=6×=3，

当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，

△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小[来源:学+科+网]

最小值为：；

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=6+2=8。

综上所述，线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值为1。