专题12 三角形多选题（原卷版）+解析版

专题12   三角形多选题

1.四边形内接于圆，，下列结论正确的有（    ）

A．四边形为梯形 B．圆的直径为7

C．四边形的面积为 D．的三边长度可以构成一个等差数列

【答案】ACD

【解析】

可证

显然不平行

即四边形为梯形，故正确；

在中由余弦定理可得

圆的直径不可能是，故错误；

在中由余弦定理可得

解得或（舍去）

故正确；

在中，，，，满足

的三边长度可以构成一个等差数列，故正确；

故选：

2.在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．,则

【答案】ABD

【解析】A. 若，则所以，所以该选项是正确的；

B. 若，则，所以该选项是正确的；

C. 若，设,所以该选项错误.

D. ,则所以,故该选项正确.

故选：A,B,D.

3.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（   ）

A． B．是钝角三角形

C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为

【答案】 ACD

【解析】因为

所以可设：（其中），解得：

所以，所以A正确；

由上可知：边最大，所以三角形中角最大，

又，所以角为锐角，所以B错误；

由上可知：边最小，所以三角形中角最小，

又，

所以,所以

由三角形中角最大且角为锐角可得：，

所以，所以C正确；

由正弦定理得：，又

所以，解得：，所以D正确；

故选：ACD

4.中,，，,在下列命题中,是真命题的有(  )

A．若>0，则为锐角三角形

B．若=0.则为直角三角形

C．若,则为等腰三角形

D．若,则为直角三角形

【答案】 BCD

【解析】如图所示，

中，，，，

①若，则是钝角，是钝角三角形，错误；

②若，则，为直角三角形，正确；

③若，，，，取中点，则，所以，即为等腰三角形，正确，

④若，则，即，即，

由余弦定理可得：，即，即，即为直角三角形，即正确，

综合①②③④可得：真命题的有，

故选：

5.已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（    ）

A．若，则一定是等边三角形

B．若，则一定是等腰三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，则一定是锐角三角形

【答案】 AC

【解析】由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确；

由正弦定理可得，或，

是等腰或直角三角形，不正确；

由正弦定理可得，即，

则等腰三角形，正确；

由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，故选AC.

6.在△ABC中，下列结论错误的有（   ）

A.a2＞b2+c2，则△ABC为钝角三角形   B.a2＝b2+c2+，则∠A为45°；

C.a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形   D.若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则a：b：c＝1：2：3．

【答案】 BCD

【解析】对于①，若a2＞b2+c2，则b2+c2﹣a2＜0，即有cosA＝＜0，即A为钝角，故①对；

对于②，若a2＝b2+c2+bc，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，则cosA＝＝﹣，即有A＝135°，故②错；

对于③，若a2+b2＞c2，则a2+b2﹣c2＞0，即cosC＞0，即C为锐角，不能说明A，B也是锐角，故③错；

对于④，若A：B：C＝1：2：3，则A＝30°，B＝60°，C＝90°，故a：b：c＝sin30°：sin60°：sin90°

＝1：：2．故④错．故选A．

7.以下关于正弦定理或其变形正确的有(　　)

A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C

B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b

C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A ＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立

D．在△ABC中，＝

【答案】 ACD

【解析】由正弦定理易知A，C，D正确．对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝，∴a＝b，或a2＋b2＝c2，故B错误.  故选ACD。

8.下列命题中，正确的是（    ）

A．在△ABC中，

B．在锐角△ABC中，不等式恒成立

C．在△ABC中，若，则△ABC必是等腰直角三角形

D．在△ABC中，若，则△ABC必是等边三角形

【答案】 ABD

【解析】在△ABC中,由，利用正弦定理可得：

∴，,

∴或 ，因此△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误.

故选ABD。

9.对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（    ）

A.若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；

B.若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；

C.若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形．

D.若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或

【答案】 CD

【解析】对于A：sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝，即△ABC是直角三角形．故A不对；对于B：由sinA＝cosB，∴A－B＝或A＋B＝.∴△ABC不一定是直角三角形；对于C：sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形，C正确；对于D：如图所示，由正弦定理，得

sinC＝＝.而c>b，∴C＝60°或C＝120°.∴A＝90°或A＝30°.

∴S△ABC＝bcsinA＝或.D正确

故选CD。

10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论不正确的是（　　）

A．a2＝b2+c2﹣2bccosA     B．asinB＝bsinA     C．a＝bcosC+ccosB    D．acosB+bcosA＝sinC

【答案】 ABC

【解析】由在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，知：

在A中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，故A正确；

在B中，由正弦定理得：，∴asinB＝bsinA，故B正确；

在C中，∵a＝bcosC+ccosB，∴由余弦定理得：a＝b×+c×，

整理，得2a2＝2a2，故C正确；

在D中，由余弦定理得acosB+bcosA＝a×+b×＝+＝c≠sinC，

故D错误．故选A，B，C.