2020-2021学年第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试同步达标检测题

考点02整式及因式分解

以考查整式的加减、乘法、幂的运算、因式分解为主。也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为12分左右，预计2021年各地中考还将继续考查幂的运算性质、因式分解、整式的化简、代入求值，为避免丢分，学生应扎实掌握.

一、代数式

代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.

二、整式

1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.

注：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。

2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.

3．整式：单项式和多项式统称为整式.

4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.

5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

6．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.

7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.

（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.

8．乘法公式：（1）平方差公式：.   （2）完全平方公式：.

9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.

三、因式分解

1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.

2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.

（2）公式法：运用平方差公式：.运用完全平方公式：.

3．分解因式的一般步骤：

（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;

（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：

为两项时，考虑平方差公式；

为三项时，考虑完全平方公式；

为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;

（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.

以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.

考向一代数式及相关问题

1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.

2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.

1．（2020·吉林长春·中考真题）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费___________元．

2．（2020·山东潍坊·中考真题）若，则的值是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

1．（2020·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．

2．（2020·江苏泰州·中考真题）点在函数的图像上，则代数式的值等于（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·湖南长沙·中考真题）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：

第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；

第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，

请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．

考向二整式及其相关概念

单项式与多项式统称整式.

观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．

多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．

考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是0.

1．（2020·四川绵阳·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．

1．（2019·山东淄博·中考真题）单项式的次数是_____．

2．（2019·湖南株洲·中考真题）下列各式中，与是同类项的是（　　）

A． B． C． D．

1．（2020·湖北荆州·）若单项式与是同类项，则的值是_______________．

1．（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式与单项式是同类项，则___________．

2．（2020·广东中考真题）若与是同类项，则___________．

考向四幂的运算

幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．

1．（2020·吉林中考真题）下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

1．（2020·江苏镇江·中考真题）下列计算正确的是（　　）

A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝ab3

2．（2020·河南中考真题）电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于(  )

A． B． C． D．

考向五整式的运算

整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．

1．（2020·湖北荆门·中考真题）先化简，再求值：，其中．

1．（2020·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．

2．（2020·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中．

1．（2020·四川眉山·中考真题）已知，则的值为（   ）

A． B． C． D．

1．（2018·云南昆明·中考真题）若m+=3，则m2+=_____．

2．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．

1．（2020·山东枣庄中考真题）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是

A.       B.      C.        D.

1．（2020·湖南郴州·中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）

A． B． C． D．

2．（2020·宁夏中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．

考向六因式分解

因式分解的概念与方法步骤

①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．

②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.

③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．

一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.

1．（2020·河北中考真题）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（    ）

A．都是因式分解 B．都是乘法运算

C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解

1．（2020·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）

A．         B．

C．                D．

2．（2019·黑龙江中考真题）分解因式：_________．

1．（2020·广东中考真题）已知，，计算的值为_________．

1．（2020·河北中考真题）若，则（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

2．（2019·湖南湘潭·中考真题）若，，则_____．

1．（湖北荆州·中考真题）下列代数式中，整式为（　　）

A．x+1 B． C． D．

2．（2020·广西中考真题）因式分解a2﹣4的结果是（　　）

A．（a+2）（a﹣2） B．（a﹣2）2 C．（a+2）2 D．a（a﹣2）

3．（山东济宁·中考真题）如果整式是关于x的三次三项式，那么n等于

A．3 B．4 C．5 D．6

4．（2020·广西河池·中考模拟）下列单项式中，与3a2b为同类项的是（　　）

A．  B． C．3ab D．3

5．（2020·广西中考真题）下列计算正确的是（　　）

A．x•x＝2x B．x+x＝2x C．（x3）3＝x6 D．（2x）2＝2x2

8．（2018·河北定兴·中考模拟）若x﹣=3，则=（　　）

A．11 B．7 C． D．

9．（2020·西藏中考真题）下列分解因式正确的一项是（　　）

A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x）

C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2

12．（2019·福建石狮·中考模拟）若，，则的值是

A．1020      B．1998    C．2019      D．2040

15．（2020·四川泸州·中考真题）若与是同类项，则a的值是___________．

16．（2018·山东菏泽·中考真题）若，，则代数式的值为__________．

17．（2019·浙江衢州·中考真题）已知实数，满足，则代数式的值为_____.

19．（2020·四川甘孜·）若，则代数式的值为________．

20．（2019·江苏扬州·中考真题）计算：的结果是_____.

21．（2020·江苏镇江·中考真题）根据数值转换机的示意图，输出的值为_____．

22．（2020·内蒙古包头·初三二模）若m﹣＝3，则m2+＝_____．

23．（2019·四川新都·中考模拟）已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．

24．（2020·北京中考真题）已知，求代数式的值．

25．（2019·黑龙江中考真题）已知：ab=1，b=2a-1，求代数式的值．

26．（2018·河北中考真题）嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“”印刷不清楚．（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）–（6x+5x2+2）；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？

27．（2020·湖北随州）先化简，再求值：，其中，．

1．（2020·江苏盐城·中考真题）下列运算正确的是：（  ）

A． B． C． D．

2．（2020·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　）

A．（﹣2a3）2＝4a6      B．a2•a3＝a6        C．3a+a2＝3a3     D．（a﹣b）2＝a2﹣b2

3．（2020·江苏徐州·）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·湖南湘潭·中考真题）已知与是同类项，则的值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．（2020·浙江杭州·）（1+y）（1﹣y）＝（　　）

A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2

9．（2020·黑龙江·）下列运算正确的是（   ）

A．(a＋b)(a－2b)=a2－2b2 B．

C．－2(3a－1)=－6a＋1 D．(a＋3)(a－3)=a2－9

12．（2018·四川乐山·中考真题）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（　　）

A．1 B．﹣ C．±1 D．±

13．（2020·贵州黔南·中考真题）若与的和仍是一个单项式，则______．

14．（2020·内蒙古中考真题）计算：______．

15．（2020·湖南岳阳·中考真题）已知，则代数式的值为___________．

17．（2020·辽宁营口·中考真题）（3+）（3﹣）＝_____．

18．（2020·山东烟台·中考真题）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为_____．

19．（2020·山东临沂·中考真题）若，则________．

20．（2020·四川中考真题）把ax2﹣4a分解因式的结果是_____．

21．（2020·江苏无锡·中考真题）因式分解：__________．

22．（江苏徐州·中考真题）已知，则         ．

23．（贵州安顺·中考真题）若是关于的完全平方式，则__________．

24．（2020·湖南湘潭·中考真题）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：，则表示的数是________．

25．（2020·江苏南通·）计算：（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；

26．（2019·浙江宁波·中考真题）先化简，再求值：，其中.