高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示当堂检测题

9.3.2　向量坐标表示与运算

基础过关练

题组一　向量的坐标表示

1.下列说法中正确的个数是(　　)

①相等向量的坐标相同;

②平面上一个向量对应平面上唯一的坐标;

③一个坐标对应唯一的一个向量;

④平面上一个点与以原点为起点,该点为终点的向量一一对应.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1 B.2 C.3 D.4

2.已知=(-2,4),则下面说法正确的是(　　)

A.点A的坐标是(-2,4)

B.点B的坐标是(-2,4)

C.当点B是原点时,点A的坐标是(-2,4)

D.当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4)

3.如果用i,j分别表示与x轴和y轴正方向相同的单位向量,且A(2,3),B(4,2),则可以表示为(　　)

A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j

4.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,则a=　　　　,b=　　　　.

题组二　向量加减运算的坐标表示

5.(2020江苏南京高一上学期期末)已知向量=(-1,2),=(1,-1),则向量的坐标为(　　)

A.(-2,3) B.(0,1)

C.(-1,2) D.(2,-3)

6.(2020江苏涟水金城外国语学校高一上学期期末考试)已知点A(1,0),B(3,2),向量=(2,1),则向量=(　　)

A.(0,-1) B.(1,-1) C.(1,0) D.(-1,0)

7.已知a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则a=　　　　,b=　　　　.

8.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则的坐标为　　　　.

题组三　向量数乘运算的坐标表示

9.若O(0,0),B(-1,3),且=3,则点A的坐标为(　　)

A.(3,9) B.(-3,9)

C.(-3,3) D.(3,-3)

10.已知a=(-3,1),b=(-1,2),则3a-2b=(　　)

A.(7,1) B.(-7,-1)

C.(-7,1) D.(7,-1)

11.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),则用a,b表示c为(　　)

A.c=a+b B.c=a+2b

C.c=-a+2b D.c=a-2b

12.(多选)(2020江苏苏州高一上学期期末考试)已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,则可使λ1·λ2<0 成立的a的坐标可能是(　　)

A.(1,0) B.(0,1)

C.(-1,0) D.(0,-1)

题组四　向量数量积的坐标表示

13.已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则·等于(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

14.已知向量=,=,则点A到BC的距离为(　　)

A. B.1 C. D.

15.已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于(　　)

A. B.-

C. D.-

16.(2020陕西宝鸡金台高三教学质量检测)已知=(2,t),=(3,3),||=1,则·=　　　　.

题组五　向量垂直的坐标表示

17.(2020江苏无锡高一上学期期末)已知向量a,b满足a=(-3,1),b=(2,k),且a⊥b,则a-b等于(　　)

A.(5,5) B.(-5,-5)

C.(-5,5) D.(-1,7)

18.(2020江苏南通如皋高一上学期期末)已知向量a=(1,m),b=(2,-1),且(a-b)⊥b,则实数m=(　　)

A.3 B.

C.- D.-3

19.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC的形状为　　　　　.

能力提升练

题组一　向量线性运算的坐标表示

1.()如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(　　)

A. B. C. D.2

2.(2020江苏苏北四市高一期末,)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R),当点P在第一、三象限的角平分线上时,λ的值为(　　)

A.1 B.2 C. D.

3.(多选)()已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,-2),则第四个顶点的坐标可能为(　　)

A.(0,-1) B.(6,15)

C.(2,-3) D.(2,3)

4.(2020江苏苏州高一上学期期末,)如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上,且满足=m+n(m,n均为正数),则+的最小值为(　　)

A.1 B. C.- D.

5.(2019广东深圳高一期末,)已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,且∠AOC=45°,设=λ+(1-λ)(λ∈R),则λ的值为　　　　.

题组二　向量数量积的坐标表示及其应用

6.(2020山东潍坊高一期末,)已知向量a=(4sin α,1-cos α),b=(1,-2),若a·b=-2,则=(　　)

A.1 B.-1 C.- D.-

7.(2020河南信阳高一期末,)如图,△ABC的一内角A=,AB=3,AC=2,BC边的中垂线DE分别交BC、AB于点D、E,则·的值为(　　)

A. B. C.- D.-

8.(多选)()已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形,P为△ABC所在平面内一点,则·(+)的值可能是(　　)

A.-2a2 B.-a2 C.-a2 D.-a2

9.()与向量a=垂直的单位向量的坐标为　　　　　　　　.

10.()如图,△ABC为等腰三角形,∠BAC=120°,AB=AC=4,以A为圆心,1为半径的圆分别交AB,AC于点E,F,点P是劣弧上一点,则·的取值范围是　　　　.

11.()在平面直角坐标系中,已知A(0,5),B(-1,3),C(3,t).

(1)若t=1,求证:△ABC为直角三角形;

(2)求使|+|的值最小的实数t的值.

12.(2020江苏南京师范大学附属中学高一第一学期期末,)设t为实数,已知向量a=(1,2),b=(-1,t).

(1)若t=3,求|a+b|和|a-b|的值;

(2)若向量a+b与a-3b的夹角为135°,求t的值.

答案全解全析

9.3.2　向量坐标表示与运算

基础过关练

1.C　由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量,故③错误,易知①②④正确,故选C.

2.D　由向量的坐标表示方法可知,当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4).

3.C　记O为坐标原点,则=2i+3j,=4i+2j,所以=-=2i-j.

4.答案　(,);

解析　设点A(x,y),B(x0,y0),

∵|a|=2,且∠AOx=45°,

∴x=2cos 45°=,y=2sin 45°=.

∵|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,

∴x0=3cos 120°=-,y0=3sin 120°=.

故a==(,),b==.

5.D　依题意得=-=(1,-1)-(-1,2)=(2,-3).

6.A　∵A(1,0),B(3,2),∴=(2,2),

∵=(2,1),∴=-=(0,-1),

故选A.

7.答案　(-3,4);(5,-12)

解析　设a=(m,n),b=(x,y),则a+b=(m+x,n+y),a-b=(m-x,n-y),

∴

解得

∴a=(-3,4),b=(5,-12).

8.答案　(-3,-5)

解析　由题意可得==-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),∴=-=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).

9.B　由题意可得=3(-1,3)=(-3,9),

所以点A的坐标为(-3,9).

10.B　3a-2b=3(-3,1)-2(-1,2)=(-9+2,3-4)=(-7,-1),故选B.

11.C　设c=λa+μb(λ,μ∈R),则(3,4)=λ(1,2)+μ(2,3)=(λ+2μ,2λ+3μ),

∴解得∴c=-a+2b.

12.AC　设a=(x,y),∵a=λ1e1+λ2e2,

∴(x,y)=λ1(-1,2)+λ2(2,1),

∴解得

对于A选项,λ1=-,λ2=,λ1·λ2<0,A正确;

对于B选项,λ1=,λ2=,λ1·λ2>0,B错误;

对于C选项,λ1=,λ2=-,λ1·λ2<0,C正确;

对于D选项,λ1=-,λ2=-,λ1·λ2>0,D错误.

故选AC.

13.B　∵=(2,3)-(1,2)=(1,1),=(-2,5)-(1,2)=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0.

14.A　由题意得cos∠ABC===,因为0°<∠ABC<180°,所以∠ABC=30°,

又因为||=1,所以点A到BC的距离为||sin∠ABC=.

15.C　设b=(x,y),由题意可知,2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),解得x=-5,y=12,故b=(-5,12),设a,b的夹角为θ,则cos θ===.故a,b夹角的余弦值为.故选C.

16.答案　3

解析　因为=(2,t),=(3,3),

所以=-=(1,3-t),

又||=1,所以||==1,解得t1=t2=3,所以=(1,0),

所以·=3×1+3×0=3.

17.B　因为a⊥b,所以-3×2+1×k=0,解得k=6.故a-b=(-3,1)-(2,6)=(-5,-5).

18.D　由a=(1,m),b=(2,-1),

得a-b=(-1,m+1),

因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0,

所以-1×2-1×(m+1)=0,解得m=-3.

故选D.

19.答案　等腰直角三角形

解析　由已知,得=(4-1,1-2)=(3,-1),=(0-1,-1-2)=(-1,-3),

∴·=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,

∴⊥,∠A=90°.

又||=||=,

∴△ABC是等腰直角三角形.

能力提升练

1.B　设正方形的边长为2,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),D(0,2),B(2,0),C(2,2),M(2,1),所以=(2,2),=(2,1),=(-2,2),

因为=λ+μ=λ(2,1)+μ(-2,2),所以解得

故λ+μ=.

2.D　设点P的坐标为(x,y),则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),

∵=+λ=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]=(3+5λ,1+7λ),

∴⇒

又∵点P在第一、三象限的角平分线上,

∴x=y,即5+5λ=4+7λ,解得λ=.

3.ABC　设平行四边形的三个顶点分别是A(3,7),B(4,6),C(1,-2),第四个顶点为D(x,y),

当=时,(x-3,y-7)=(-3,-8),解得x=0,y=-1,此时第四个顶点的坐标为(0,-1);

当=时,(x-3,y-7)=(3,8),解得x=6,y=15,此时第四个顶点的坐标为(6,15);

当=时,(1,-1)=(x-1,y+2),解得x=2,y=-3,此时第四个顶点的坐标为(2,-3).

∴第四个顶点的坐标为(0,-1)或(6,15)或(2,-3).

4.D　如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(1,4),则=(4,0),=(0,4),=(-3,4),

设=λ=(-3λ,4λ)(λ∈R),

则=+=(4-3λ,4λ).

因为=m+n=(4m,4n),

所以消去λ,得m+n=1,

因为m>0,n>0,所以+==1+++≥+2=,

当且仅当m=n时等号成立.

故+的最小值为.

5.答案　

解析　如图所示,因为∠AOC=45°,

所以设C(x,-x),则=(x,-x).

因为A(-3,0),B(0,2),

所以=(-3,0),=(0,2),

所以=λ+(1-λ)=(-3λ,2-2λ),

所以解得

6.A　因为a=(4sin α,1-cos α),b=(1,-2),a·b=-2,所以4sin α-2(1-cos α)=-2,

整理得tan α=-,

所以===1.

7.C　如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

则A(0,0),B(3,0),C(1,),D,所以=(1,),=(-2,),

设点E的坐标为(x,0),

则=,

由DE是BC的中垂线可知·(-2,)=0,解得x=,

即点E的坐标为,

故=,

所以·=(1,)·=-.

8.BCD　建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,a),B(-a,0),C(a,0),

设P(x,y),则=(-x,a-y),=(-a-x,-y),=(a-x,-y),

所以·(+)

=(-x,a-y)·[(-a-x,-y)+(a-x,-y)]

=(-x,a-y)·(-2x,-2y)

=2x2+2y2-2ay

=2x2+2-a2≥-a2.故选BCD.

9.答案　或

解析　设与向量a垂直的单位向量为b=(x,y),则x2+y2=1.

∵向量a=与b垂直,∴a·b=·(x,y)=--=0,

化简得x+2y=0.联立得

解得或

∴b=或b=.

10.答案　[-11,-9]

解析　以A为原点,BC的垂直平分线为y轴,平行于BC边的直线为x轴,建立平面直角坐标系,由∠BAC=120°,AB=AC=4,可得B(-2,-2),C(2,-2),

∵||=1,∴可设P(cos α,sin α),≤α≤,-1≤sin α≤-,∴=(-2-cos α,-2-sin α),=(2-cos α,-2-sin α),∴·=cos2α-12+(2+sin α)2=-7+4sin α∈[-11,-9].

11.解析　(1)证明:当t=1时,C(3,1),

则=(-1,-2),=(4,-2),

∴·=-1×4+(-2)×(-2)=0.

∴⊥,即△ABC为直角三角形.

(2)∵=(-1,-2),=(3,t-5),

∴+=(-1,-2)+(3,t-5)=(2,t-7),

∴|+|=.

∴当t=7时,|+|取得最小值2.

12.解析　(1)当t=3时,b=(-1,3),a+b=(0,5),a-b=(2,-1),

所以|a+b|=5,|a-b|=.

(2)由题意得a+b=(0,2+t),a-3b=(4,2-3t),

则cos 135°=

==-,

化简得3t2-4t-4=0,解得t1=2,t2=-,

经检验,当t=-时,向量a+b与a-3b的夹角为45°,舍去;当t=2时,向量a+b与a-3b的夹角为135°.故t=2.