高中苏教版 (2019)第9章 平面向量9.2 向量运算同步达标检测题

这是一份高中苏教版 (2019)第9章 平面向量9.2 向量运算同步达标检测题，共17页。

9.2.3　向量的数量积
基础过关练
题组一　向量的数量积
1.已知|a|=2,b是单位向量,且a与b的夹角为60°,则a·(a-b)等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2-3 C.3 D.4-3
2.若e1,e2是夹角为π3的单位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则a·b=(　　)
A.1 B.-4 C.-72 D.72
3.(2020江苏盐城经济开发区中学高一上学期期末考试)已知向量a,b,c和实数λ,则下列各式一定正确的是　　　　.(填序号)
①a·b=b·a;②(λa)·b=a·(λb);
③(a+b)·c=a·c+b·c;④(a·b)c=a(b·c).
4.设△ABC是边长为2的正三角形,E是BC的中点,F是AE的中点,则AB·(FB+FC)的值为　　　　. 
题组二　投影向量
5.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b上的投影向量是(　　)
A.-43b B.4b C.-2b D.2b
6.已知|a|=6,|b|=4,a·b=12,向量b方向上的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量是　　　　.
7.已知a·b=16,若向量a在向量b上的投影向量为4b,则|b|=　　　　.
8.已知|a|=6,e为单位向量,当向量a,e的夹角θ分别等于45°,90°,135°时,求向量a在向量e上的投影向量.


题组三　向量的模
9.已知|a|=1,|b|=2,向量a与向量b的夹角为π3,那么|4a-b|等于(　　)
A.2 B.6 C.23 D.12
10.若向量a与向量b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=(　　)
A.2 B.4 C.6 D.12
11.若平面向量a,b,c两两所成的角相等,且|a|=1,|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|等于　　　　.
12.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,|AB|=2,则|BC+DC|=　　　　.深度解析 
题组四　向量的夹角
13.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=4,|b-a|=61,则a与b的夹角θ=(　　)
A.150° B.120° C.60° D.30°
14.已知|a|=3,|b|=4,则向量a+34b与向量a-34b的夹角为(　　)
A.0° B.90° C.30° D.180°
15.已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则向量a与向量b的夹角θ为(　　)
A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6
16.(2020江苏盐城建湖第二中学高一上学期期末考试)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,DF=12FA,若AE·BF=-3,则cos∠BAD=　　　　.

题组五　向量的垂直
17.在四边形ABCD中,AB=DC,且AC·BD=0,则四边形ABCD是(　　)
A.矩形 B.菱形
C.直角梯形 D.等腰梯形
18.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,若(a-mb)⊥a,则实数m的值为(　　)
A.1 B.32 C.2 D.3
19.已知P是△ABC所在平面内一点,若PA·PB=PB·PC=PC·PA,则P是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
20.(2020江苏盐城滨海高一上学期期末考试)非零向量a,b 互相垂直,则下面结论正确的是(　　)
A.|a|=|b| B.a+b=a-b
C.|a+b|=|a-b| D.(a+b)·(a-b)=0
能力提升练
题组一　向量数量积的运算及其应用
1.()在△ABC中,AB=4,AC=3,AB,BC边的垂直平分线交于点P,则AP·BC的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.7 B.72 C.-7 D.-72
2.(2020天津六校高三上学期期末考试,)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,BC=3,∠BAD=60°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,点M在边CD所在直线上,则AM·ME的最大值为(　　)
A.-714 B.-24 C.-514 D.-30
3.(多选)()下列命题中,正确的是(　　)
A.对于任意向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|
B.若a·b=0,则a=0或b=0
C.对于任意向量a,b,有|a·b|≤|a||b|
D.若a,b共线,则a·b=±|a||b|
4.()如图,已知正方形ABCD的边长为3,E为DC的中点,AE与BD交于点F,则FD·DE=　　　　. 

5.(2020江苏天一中学月考,)对任意两个非零向量m和n,定义新运算“⊗”:m⊗n=m·nn·n.若两个非零向量a,b满足a与b的夹角θ∈π4,π2,且a⊗b和b⊗a都在集合n2|n∈Z中,则a⊗b=　　　　. 
题组二　投影向量
6.()已知向量a,b满足|a|=1,a⊥b,向量e是与向量a^同向的单位向量,则向量a-2b在向量a上的投影向量为(　　)
A.e B.77e C.-e D.277e
7.(2020江苏苏州新草桥中学阶段检测,)已知a,b是单位向量,且|a+b|=2|a-b|,向量e是与a+b同向的单位向量,则向量a在向量a+b上的投影向量为(　　)
A.13e B.-263e
C.63e D.223e
8.()已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a-b在向量a+b上的投影向量是　　　　. 
题组三　向量的模和夹角
9.()若非零向量a、b满足|a|=223|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则向量a与向量b的夹角为(　　)
A.π4 B.π2 C.3π4 D.π
10.(2020江苏启东中学高一阶段测试,)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为π6,则|x||b|的最大值等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.3
11.()已知|a|=2,|b|=3,向量a与向量b的夹角为60°.若向量a+λb与向量λa+b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为　　　　.易错 
题组四　向量的垂直
12.()若向量a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|b|,则函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)是(　　)
A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数
C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数
13.()已知△ABC中,若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,则△ABC是(　　)
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
14.()在△ABC中,已知向量AB与向量AC满足AB|AB|+AC|AC|⊥BC且AB|AB|·AC|AC|=12,则△ABC是(　　)
A.三边均不相同的三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
15.()已知向量e1,e2不共线,向量a=e1-e2,b=e1+2e2,c=3e1-e2.
(1)若(a+2b)∥(b+kc),求实数k的值;
(2)若e1,e2为相互垂直的单位向量,且(ta+b)⊥a,求实数t的值.





答案全解全析
9.2.3　向量的数量积
基础过关练
1.C　由题意得a·(a-b)=a2-a·b=4-2×1×cos 60°=3.
2.C　由已知得e1·e2=|e1||e2|cosπ3=12,
∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e1|2+2|e2|2+e1·e2=-72.
故选C.
3.答案　①②③
解析　由向量数量积的运算律可知①②③正确.
对于④,令m=a·b,n=b·c,则(a·b)c=mc,而a(b·c)=na,a,c均为任意向量,所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立.
4.答案　3
解析　如图,根据题意得AE=3,∠BAE=30°,
∴AB·(FB+FC)=AB·2FE=AB·AE=|AB||AE|cos 30°=2×3×32=3.

5.A　解法一:设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a||b|=-126×3=-23,则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θb|b|=6×-23×b3=-43b.
解法二:向量a在向量b上的投影向量为a·b|b|·b|b|=-123×b3=-43b.
6.答案　3e
解析　设向量a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ=6×4cos θ=12,所以cos θ=12,所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θe=6×12e=3e.
7.答案　2
解析　设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|·cos θ=16,因为向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θb|b|=4b,所以|a|cos θ=4|b|,所以|b|=2.
8.解析　当θ=45°时,向量a在向量e上的投影向量为|a|cos 45°·e=6×22e=32e;
当θ=90°时,向量a在向量e上的投影向量为|a|cos 90°·e=0;
当θ=135°时,向量a在向量e上的投影向量为|a|cos 135°·e=6×-22×e=-32e.
9.C　|4a-b|=16a2-8a·b+b2
=16-8×1×2×cosπ3+4=23,故选C.
10.C　∵(a+2b)·(a-3b)=-72,
∴a2-a·b-6b2=-72,
∴|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2=-72,
∴|a|2-2|a|-24=0.
又∵|a|≥0,∴|a|=6.
11.答案　2或5
解析　∵平面向量a,b,c两两所成的角相等,∴其夹角为0°或120°.
当夹角为0°时,|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+1+3=5;
当夹角为120°时,|a+b+c|=(a+b+c)2=2.
综上所述,|a+b+c|的值为2或5.
12.答案　23
解析　在菱形ABCD中,∠DAB=60°,|AB|=2,
则|AD+AB|2=|AD|2+|AB|2+2|AD|·|AB|·cos∠DAB=4+4+2×2×2×12=12,
∴|BC+DC|=|AD+AB|=23.
方法技巧　向量模的求解可应用如下式子进行:|a|2=a2=a·a或|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2,即先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.
13.B　由|b-a|=61可得b2-2a·b+a2=16-2a·b+25=61,所以a·b=-10,所以cos θ=a·b|a||b|=-105×4=-12,因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°,故选B.
14.B　因为a+34b·a-34b=|a|2-916|b|2=32-916×42=0,
所以向量a+34b与向量a-34b垂直,即其夹角为90°,故选B.
15.C　由题意得,a·(2a+b)=2a2+a·b=0,即a·b=-2a2,所以cos θ=a·b|a||b|=-2a24a2=-12,因为θ∈[0,π],所以θ=2π3,故选C.
16.答案　18
解析　∵DF=12FA,∴AF=23AD,
∴BF=BA+AF=-AB+23AD,
∵AE=AD+DE=AD+12AB,
∴AE·BF=AD+12AB·-AB+23AD
=23AD2-23AB·AD-12AB2
=23×32-23×4×3×cos∠BAD-12×42=-3,∴cos∠BAD=18.
17.B　由AB=DC得AB与DC平行且相等,
所以四边形ABCD是平行四边形,
又AC·BD=0,所以AC⊥BD,
所以四边形ABCD是菱形.
18.D　∵(a-mb)⊥a,∴(a-mb)·a=0,
∴a2-ma·b=0,即9-m×3×2×cos 60°=0,
∴m=3.
19.D　由PA·PB=PB·PC,得PB·(PA-PC)=0,即PB·CA=0,∴PB⊥CA.
同理,PA⊥BC,PC⊥AB,
∴P为△ABC的垂心.
20.C　对于A选项,|a|=|b|,与a,b相互垂直无关,A错误;
对于B选项,a+b=a-b⇔b=0,与b为非零向量矛盾,B错误;
对于C选项,由|a+b|=|a-b|,得(a+b)2=(a-b)2,则4a·b=0,∴a⊥b,C正确;
对于D选项,由(a+b)·(a-b)=0,得a2=b2,则|a|=|b|,与a,b相互垂直无关,D错误.故选C.
能力提升练
1.D　取BC边的中点D,则AP=AD+DP,∴AP·BC=AD·BC+DP·BC,∵AB,BC边的垂直平分线交于点P,∴PD⊥BC,∴DP·BC=0,∴AP·BC=AD·BC=12(AC+AB)·(AC-AB)=12(|AC|2-|AB|2)=-72,故选D.
2.A　∵∠BAD=60°,且AD∥BC,
∴∠ABE=60°,又AE=BE,
∴△ABE是边长为2的等边三角形,
∴∠EAD=120°,CE=5,
∴CE?AD,
∴四边形AECD为平行四边形,
∴DC=AE.
设DM=tDC,t∈R,
则AM=AD+DM=AD+tDC=AD+tAE,
ME=AE-AM=AE-AD-tAE=(1-t)AE-AD,
∴AM·ME=(AD+tAE)·[(1-t)AE-AD]
=-AD2+(t-t2)AE2+(1-2t)AD·AE
=-25+4(t-t2)+(1-2t)×5×2×cos 120°
=-4t2+14t-30,
∴当t=-142×(-4)=74时,AM·ME有最大值,且最大值为-4×742+14×74-30=-714.
3.ACD　由向量加法的三角形法则可知选项A正确;
当a⊥b时,a·b=0,故选项B错误;
|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|,故选项C正确;
当a,b共线且同向时,a·b=|a||b|cos 0°=|a||b|,当a,b共线且反向时,a·b=|a||b|·cos 180°=-|a||b|,故选项D正确.
故选ACD.
4.答案　-32
解析　∵四边形ABCD是正方形,
∴DE=12CD=32,∠ADE=π2,AB∥CD,
∠FDE=π4,∴BD=AB2+AD2=9+9=32,AE=AD2+DE2=9+94=352,
∵AB∥CD,
∴△ABF∽△EDF,
∴BF∶DF=AB∶DE=2∶1,
∴FD=13BD=2,
∴FD·DE=|FD|×|DE|cos(π-∠FDE)=2×32×-22=-32.
5.答案　12
解析　根据新定义,得
a⊗b=a·bb·b=|a||b|cosθ|b|2=|a||b|cos θ,
b⊗a=b·aa·a=|a||b|cosθ|a|2=|b||a|cos θ.
因为a⊗b和b⊗a都在集合n2|n∈Z中,所以可设a⊗b=n12,b⊗a=n22(n1,n2∈Z),那么(a⊗b)·(b⊗a)=cos2θ=n1n24.又θ∈π4,π2,所以0 6.A　设θ为向量a-2b与向量a的夹角,则向量a-2b在向量a上的投影向量为|a-2b|cos θe.
又cos θ=(a-2b)·a|a-2b||a|=a2-2a·b|a-2b||a|=1|a-2b|,所以|a-2b|cos θe=|a-2b|·1|a-2b|·e=e.
7.C　∵|a+b|=2|a-b|,
∴(a+b)2=2(a-b)2,
∴6a·b=a2+b2,
∴a·b=26=13,
∴|a+b|=(a+b)2
=a2+2a·b+b2
=1+2×13+1=263,
设向量a与向量a+b的夹角为θ,
∴向量a在向量a+b上的投影向量为
|a|cos θe=a·(a+b)|a+b|·e=a2+a·b|a+b|·e=1+13263e=63e.
8.答案　-(a+b)
解析　|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×2×cos 120°+4=3,所以|a+b|=3,
|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×1×2×cos 120°+4=7,所以|a-b|=7,
设向量a-b与向量a+b的夹角为θ,
则cos θ=(a-b)·(a+b)|a-b||a+b|=1-47×3=-217,
所以向量a-b在向量a+b上的投影向量是|a-b|cos θ·a+b|a+b|=7×-217×a+b3=-(a+b).
9.A　由题意得(a-b)·(3a+2b)=3a2-2b2-a·b=0,即a·b=3a2-2b2.
又|a|=223|b|,
所以a·b=3223|b|2-2b2=23b2,
设向量a与向量b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a||b|=23b2223b2=22,
因为θ∈[0,π],所以θ=π4,故选A.
10.B　因为b≠0,b=xe1+ye2,
所以x≠0或y≠0.
当x=0,y≠0时,|x||b|=0.
当x≠0时,|b|2=(xe1+ye2)2=x2+y2+3xy,|x|2|b|2=x2x2+y2+3xy=1y2x2+3·yx+1,
不妨设yx=t,
则|x|2|b|2=1t2+3t+1=1t+322+14,
当t=-32时,t2+3t+1取得最小值14,
此时|x|2|b|2取得最大值4,所以|x||b|的最大值为2.
综上,|x||b|的最大值为2.
11.答案　-∞,-3-1336∪133-136,1∪(1,+∞)
解析　由题意可知a·b=|a||b|cos 60°=2×3×12=3.
∵(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,向量a+λb与向量λa+b的夹角为锐角,∴λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0.
∵a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,a·b=3,
∴3λ2+13λ+3>0.
解得λ>133-136或λ<-13-1336.
当λ=1时,a+λb与λa+b共线,其夹角不为锐角,
故λ的取值范围是-∞,-13-1336∪133-136,1∪(1,+∞).
易错警示　由两向量的夹角求参数:若两向量a,b的夹角为锐角,则a·b>0,若两向量a·b的夹角为钝角,则a·b<0,由此列出不等式(组)求参数.注意排除两向量共线的情况.
12.A　f(x)=(xa+b)·(xb-a)=(a·b)x2+(|b|2-|a|2)x-a·b,由a⊥b,得a·b=0,所以f(x)=(|b|2-|a|2)x.由于|a|≠|b|,所以|b|2-|a|2≠0,即f(x)=(|b|2-|a|2)x是一次函数,显然也是奇函数.
13.C　由题意得AB2-AB·AC=BA·BC+CA·CB,则AB·(AB-AC)=BC·(BA-CA),
即AB·CB=BC·BC,
∴AB·BC+BC·BC=0,
∴BC·(AB+BC)=0,
则BC·AC=0,即BC⊥AC,
∴△ABC是直角三角形.
14.D　设AB|AB|+AC|AC|=AD,∵AB|AB|和AC|AC|是两个单位向量,∴AD在∠BAC的平分线上,又AD⊥BC,∴△ABC是等腰三角形,则AB|AB|·AC|AC|=1×1×cos∠BAC=12,即cos∠BAC=12,∴∠BAC=π3,
∴△ABC是等边三角形.
15.解析　(1)∵a=e1-e2,b=e1+2e2,c=3e1-e2,
∴a+2b=3e1+3e2,b+kc=(1+3k)e1+(2-k)e2,
∵(a+2b)∥(b+kc),
∴由向量共线定理可得,存在实数λ,使得λ(a+2b)=b+kc,
则3λe1+3λe2=(1+3k)e1+(2-k)e2,
∵e1,e2不共线,3λ=1+3k,3λ=2-k,解得k=14.
(2)∵a=e1-e2,b=e1+2e2,
∴ta+b=(t+1)e1+(2-t)e2,
∵(ta+b)⊥a,∴(ta+b)·a=0,
即(t+1)e12+(1-2t)e1·e2+(t-2)e22=0,
∵e1,e2为相互垂直的单位向量,
∴e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,
∴2t-1=0,∴t=12.