2021学年9.3 向量基本定理及坐标表示教学ppt课件

第九章　平面向量

9.3.2　平面向量坐标表示与运算

本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养．理解平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

1.教学重点：掌握加减数乘向量的坐标运算法则.

2.教学难点：理解用坐标表示平面向量共线的条件，掌握三点共线的判断方法.

多媒体调试、讲义分发。

“三坐标雷达”亦称一维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达(仅提供方位和距离信息的雷达)多提供了一维高度信息.这使其成为对飞机引导作战的关键设备.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的坐标来表示.平面向量的坐标有何运算规律呢？

1.平面向量正交分解的定义

把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.

2.平面向量的坐标表示

(1)基底在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.

(2)坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标.

(3)坐标表示：a＝(x，y).

3.平面向量共线的坐标表示

利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快

设a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.)

4.中点坐标公式

若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.

题型一　平面向量的坐标表示

【例1】　在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标.

解　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，

则a1＝|a|cos 45°＝2×＝，

a2＝|a|sin 45°＝2×＝，

b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，

b2＝|b|sin 120°＝3×＝，

c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，

c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.

因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2).

规律方法　求点和向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.

(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.

【跟踪训练】　已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝3a，则点N的坐标为(　　)

A.(2，0)    B.(－3，6)

C.(6，2)    D.(－2，0)

解析　＝3a＝(1，－2)＋(1，－2)＋(1，－2)＝(2，－4)＋(1，－2)＝(3，－6).设N(x，y)，则＝(5－x，－6－y)＝(3，－6)，

所以即

答案　A

题型二　平面向量的坐标运算　

【例2】　(1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)

A.(－7，－4)    B.(7，4)

C.(－1，4)    D.(1，4)

解析　设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，则＝(－7，－4)，故选A.

答案　A

(2)已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和D(－2，3)，试用坐标来表示＋＋.

解　＝(－3，5)，＝(－4，2)，＝(－5，1)，

∴＋＋＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8).

规律方法　平面向量坐标运算的技巧

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.

(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行.

题型三　平面向量坐标运算的应用

【例3】　已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ).若＝＋(λ∈R)，试求λ为何值时：

(1)点P在第一、三象限的角平分线上；

(2)点P在第三象限内.

解　设点P的坐标为(x，y)，

则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，

＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)

＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ).

∵＝＋，且与不共线，

∴则

(1)若点P在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.

(2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1.

规律方法　坐标形式下向量相等的条件及其应用

(1)条件：相等向量的对应坐标相等.

(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标.

【跟踪训练】　已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.

解　设D点的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)，且＝，得D(2，2).

当平行四边形为ACDB时，由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4，6).

当平行四边形为ACBD时，由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且＝，得D(－6，0)，

故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0).

题型四　向量的坐标运算

【例4】 (1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)

A.(－23，－12)    B.(23，12)

C.(7，0)    D.(－7，0)

(2)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点坐标为________.

解析　(1)由3a－2b＋c＝0，

∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，

∴c＝(－23，－12).

(2)设P(x，y)，∴＝(x－3，y＋2)，＝(－8，1)，由＝得P.

答案　(1)A　(2)

题型五　向量平行(共线)的应用

【例5】　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

解　ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，

a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，

∵ka＋b与a－3b平行，

∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，

解得k＝－.

此时ka＋b＝＝－(a－3b)，

∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向.

【变式】已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.

解析　＝－＝(1－k，2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，由题意可知∥，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－或k＝1，当k＝1时，A，B重合，故舍去.

答案　－

规律方法　1.向量共线的判定方法

2.三点共线的条件及判断方法

任取两点构成向量，计算出两向量，如，，再通过两向量共线的条件进行判断.

【跟踪训练】　（1）　若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________.

解析　∵a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b，

∴sin α－3cos α＝0，即tan α＝，

又0<α<，故α＝.

答案　

（2）已知A(1，－3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线.

证明　＝＝，

＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，

∵7×4－×8＝0，

∴∥，且，有公共点A，

∴A，B，C三点共线.

1. 若＝(3，5)，＝(－1，2)，则等于(　　)

A.(4，3)    B.(－4，－3)

C.(－4，3)    D.(4，－3)

解析　＝－＝(3，5)－(－1，2)＝(4，3).

答案　A

2. 已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且＝，则点C的坐标为________.

解析　设C(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(2，1).由＝，则x＝0，y＝4.

答案　(0，4)

3.若点A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a＝________.

解析　＝(5，4)，＝(4，a)，因为A，B，C三点共线，所以∥，故5a－16＝0，所以a＝.

答案　

4.与向量a＝(－3，4)平行的单位向量是________.

解析　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，则

∴或

答案　或

注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.