苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示导学案及答案

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示导学案及答案，共6页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①eq \(AD,\s\up7(→))与eq \(AB,\s\up7(→))；②eq \(DA,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))；③eq \(CA,\s\up7(→))与eq \(DC,\s\up7(→))；④eq \(OD,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))．其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是( )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
C [如图所示，eq \(AD,\s\up7(→))与eq \(AB,\s\up7(→))为不共线向量，可以作为基底．eq \(CA,\s\up7(→))与eq \(DC,\s\up7(→))为不共线向量，可以作为基底．eq \(DA,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(OD,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))均为共线向量，不能作为基底．]
2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．不确定
B [a＋b＝3e1－e2，所以c＝2(a＋b)，所以a＋b与c共线．]
3．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
D [易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝6λ，,－4＝kλ，))∴k＝－8．]
4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则eq \f(n,m)＝( )
A．eq \f(1,2) B．2 C．eq \f(1,4) D．4
B [由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，
∴eq \f(n,m)＝2．]
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq \(AD,\s\up7(→))＝2eq \(DB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up7(→))＋λeq \(CB,\s\up7(→))，则λ＝( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,2)
A [∵eq \(AD,\s\up7(→))＝2eq \(DB,\s\up7(→))，∴eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)(eq \(CB,\s\up7(→))－eq \(CA,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up7(→))．
又∵eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up7(→))＋λeq \(CB,\s\up7(→))，∴λ＝eq \f(2,3)．]
二、填空题
6．如图，在正方形ABCD中，设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b，eq \(BD,\s\up7(→))＝c，则在以a，b为基底时，eq \(AC,\s\up7(→))可表示为________，在以a，c为基底时，eq \(AC,\s\up7(→))可表示为________．
a＋b 2a＋c [由平行四边形法则可知，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＝a＋b，以a，c为基底时，eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(BD,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＝eq \(BD,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＝c＋a，
eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝a＋c＋a＝2a＋c．]
7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．
(－∞，4)∪(4，＋∞) [若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4．]
8．如图，在△ABC中，eq \(BC,\s\up7(→))＝a，eq \(CA,\s\up7(→))＝b，eq \(AB,\s\up7(→))＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝________．
0 [原式＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→)))＝0．]
三、解答题
9．如图，在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b，E，F分别是AB，BC的中点，G点使eq \(DG,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up7(→))，试以a，b为基底表示向量eq \(AF,\s\up7(→))与eq \(EG,\s\up7(→))．
[解] eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(→))
＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))＝a＋eq \f(1,2)b．
eq \(EG,\s\up7(→))＝eq \(EA,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DG,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(1,3)a＝－eq \f(1,6)a＋b．
10．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a．
[解] 设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则
－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，
即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4λ1－3λ2＝－1，,2λ1＋12λ2＝3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝－\f(1,18)，,λ2＝\f(7,27)，))
∴a＝－eq \f(1,18)b＋eq \f(7,27)c．
11．(多选题)等边三角形ABC中，eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(EC,\s\up7(→))＝2eq \(AE,\s\up7(→))，AD与BE交于点F，则下列结论正确的是( )
A．eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))) B．eq \(BE,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up7(→))
C．eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→)) D．eq \(BF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(→))
AC [如图，∵eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(DC,\s\up7(→))，∴D为BC的中点，
∴eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))，
∴A正确；
∵eq \(EC,\s\up7(→))＝2eq \(AE,\s\up7(→))，
∴eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(eq \(BC,\s\up7(→))－eq \(BA,\s\up7(→)))，
∴eq \(BE,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BC,\s\up7(→))－eq \(BA,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up7(→))，∴B错误；
设eq \(AF,\s\up7(→))＝λeq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(λ,2)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(λ,2)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(λ,2)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(3λ,2)eq \(AE,\s\up7(→))，
∵B，F，E三点共线，
∴eq \f(λ,2)＋eq \f(3λ,2)＝1，解得λ＝eq \f(1,2)，
∴eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))，∴C正确；
eq \(BF,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up7(→))－eq \(BA,\s\up7(→)))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(→))，∴D错误．]
12．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))，则△ABM与△ABC的面积之比为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
B [如图，分别在eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))上取点E，F，
使eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))，
在eq \(BC,\s\up7(→))上取点G，使eq \(BG,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(→))，则EG∥AC，FG∥AE，
∴eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \(AE,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(AM,\s\up7(→))，
∴M与G重合，
∴eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(BM,BC)＝eq \f(1,4)．]
13．如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(NC,\s\up7(→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up7(→))＝meq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up7(→))，则实数m的值为________．
eq \f(1,9) [设eq \(NP,\s\up7(→))＝λeq \(NB,\s\up7(→))，eq \(NP,\s\up7(→))＝eq \(AP,\s\up7(→))－eq \(AN,\s\up7(→))＝meq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up7(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))＝meq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,36)eq \(AC,\s\up7(→))，λeq \(NB,\s\up7(→))＝λ(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AN,\s\up7(→)))＝λeq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(λ,4)eq \(AC,\s\up7(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝λ，,－\f(1,36)＝－\f(λ,4)，))∴m＝λ＝eq \f(1,9)．]
14．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且eq \(OP,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))，则x的取值范围是________；当x＝－eq \f(1,2)时，y的取值范围是________．
(－∞，0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) [设eq \(OP,\s\up7(→))＝aeq \(OM,\s\up7(→))＋beq \(OB,\s\up7(→))(a，b为正实数，00)，
则eq \(OP,\s\up7(→))＝aλeq \(AB,\s\up7(→))＋beq \(OB,\s\up7(→))＝aλ(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＋beq \(OB,\s\up7(→))＝－aλeq \(OA,\s\up7(→))＋(aλ＋b)eq \(OB,\s\up7(→))．
由－aλ<0，得x∈(－∞，0)．
因为eq \(OP,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))，
所以0当x＝－eq \f(1,2)时，有0<－eq \f(1,2)＋y<1，解得y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))．]
15．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．若PQ过△ABO的重心G，且eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OP,\s\up7(→))＝ma，eq \(OQ,\s\up7(→))＝nb，求证：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3．
[证明] 因为M是AB边的中点，
所以eq \(OM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(a＋b)．
因为G是△ABO的重心，
所以eq \(OG,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得eq \(PG,\s\up7(→))∥eq \(GQ,\s\up7(→))，
所以有且只有一个实数λ，使eq \(PG,\s\up7(→))＝λeq \(GQ,\s\up7(→))．
而eq \(PG,\s\up7(→))＝eq \(OG,\s\up7(→))－eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)－ma＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)b，
eq \(GQ,\s\up7(→))＝eq \(OQ,\s\up7(→))－eq \(OG,\s\up7(→))＝nb－eq \f(1,3)(a＋b)＝－eq \f(1,3)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,3)))b，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)b＝λeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,3)))b))．
又因为a，b不共线，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m＝－\f(1,3)λ，,\f(1,3)＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,3)))，))
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3．