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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算多媒体教学课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算多媒体教学课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，微练习，答案-1-7i，探究一，探究二，探究三，素养形成，当堂检测，答案B等内容，欢迎下载使用。
任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,即a,b,c∈R时,必定有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).那么,复数中的加法应该如何规定,才能使得类似的交换律与结合律都成立呢?
知识点一、复数的加、减运算1.复数加法、减法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则有:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.2.复数加法的运算律设z1,z2,z3∈C,则有:交换律:z1+z2=z2+z1;结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
微练习(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,则z1+z2= . (2)(5-5i)-3i= . 解析:(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.(2)(5-5i)-3i=5-8i.答案:(1)1+2i (2)5-8i
知识点二、复数加法的几何意义
微练习解析:(5-4i)+(-5+4i)=(5-5)+(-4+4)i=0.答案:0
知识点三、复数减法的几何意义
复数的加、减运算(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z.分析(1)可根据复数的加、减法法则计算.(2)可设z=x+yi(x,y∈R),根据复数相等计算,也可把等式看作z的方程,通过移项求解.
(2)解:(方法一)设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.(方法二)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
反思感悟 复数加减运算的方法技巧(1)可把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行.(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错.
变式训练1(1)计算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)= . (2)若(1-3i)+z=6+2i,则复数z= . 解析:(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.答案:(1)-2-4i (2)5+5i
复数加、减运算的几何意义
反思感悟 用复数加、减运算的几何意义解题的策略向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量 对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).
变式训练2如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求:
复数模的最值问题例3(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( )
(1)解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.因为|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.故选A.答案:A
反思感悟 复数模的问题的求解策略|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
延伸探究 (1)若本例(2)条件改为“设复数z满足|z-3-4i|=1”,求|z|的最大值.(2)若本例(2)条件改为已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.
数形结合思想在复数中的应用典例复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD,求 .分析首先由A,C两点坐标求解出AC的中点坐标,然后再由点B的坐标求解出点D的坐标.
方法点睛 (1)解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形,然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解.(2)复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数加、减运算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法,即通过几何图形来研究代数问题.
1.若(-3a+bi)-(2b+ai)=3-5i,a,b∈R,则a+b=( )
2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是( )A.-2B.4C.3D.-4解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.答案:B
4.若复数z满足|z-i|=3,则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 . 解析:由条件知|z-i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心,以3为半径的圆,故其面积为S=9π.答案:9π
任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,即a,b,c∈R时,必定有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).那么,复数中的加法应该如何规定,才能使得类似的交换律与结合律都成立呢?
知识点一、复数的加、减运算1.复数加法、减法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则有:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.2.复数加法的运算律设z1,z2,z3∈C,则有:交换律:z1+z2=z2+z1;结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
微练习(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,则z1+z2= . (2)(5-5i)-3i= . 解析:(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.(2)(5-5i)-3i=5-8i.答案:(1)1+2i (2)5-8i
知识点二、复数加法的几何意义
微练习解析:(5-4i)+(-5+4i)=(5-5)+(-4+4)i=0.答案:0
知识点三、复数减法的几何意义
复数的加、减运算(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z.分析(1)可根据复数的加、减法法则计算.(2)可设z=x+yi(x,y∈R),根据复数相等计算,也可把等式看作z的方程,通过移项求解.
(2)解:(方法一)设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.(方法二)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
反思感悟 复数加减运算的方法技巧(1)可把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行.(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错.
变式训练1(1)计算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)= . (2)若(1-3i)+z=6+2i,则复数z= . 解析:(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.答案:(1)-2-4i (2)5+5i
复数加、减运算的几何意义
反思感悟 用复数加、减运算的几何意义解题的策略向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量 对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).
变式训练2如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求:
复数模的最值问题例3(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( )
(1)解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.因为|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.故选A.答案:A
反思感悟 复数模的问题的求解策略|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
延伸探究 (1)若本例(2)条件改为“设复数z满足|z-3-4i|=1”,求|z|的最大值.(2)若本例(2)条件改为已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.
数形结合思想在复数中的应用典例复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD,求 .分析首先由A,C两点坐标求解出AC的中点坐标,然后再由点B的坐标求解出点D的坐标.
方法点睛 (1)解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形,然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解.(2)复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数加、减运算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法,即通过几何图形来研究代数问题.
1.若(-3a+bi)-(2b+ai)=3-5i,a,b∈R,则a+b=( )
2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是( )A.-2B.4C.3D.-4解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.答案:B
4.若复数z满足|z-i|=3,则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 . 解析:由条件知|z-i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心,以3为半径的圆,故其面积为S=9π.答案:9π
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