高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算随堂练习题

7.2.2　复数的乘、除运算

基础过关练

题组一　复数的乘、除运算　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于(　　)

A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i

2.(2020山东滕州一中高一检测)已知复数z=(i为虚数单位),则复数z的虚部是(　　)

A.1 B.-1 C.i D.-i

3.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于(　　)

A.-1 B.1 C.2 D.3

4.若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z为(　　)

A.-3+i B.3+i C.-3-i D.3-i

5.已知i为虚数单位,则复数的模等于(　　)

A. B. C. D.

6.(2020湖北名师联盟高二期末)已知i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a的值为(　　)

A.1 B.-1 C. D.2

7.(2020河北辛集中学高二月考)已知(a+i)(1+bi)=1+3i,其中a,b均为实数,i为虚数单位,则|a+bi|=(　　)

A. B.2 C.5 D.2

8.(2020天津高一期末)已知i是虚数单位,z1=.若复数z2的虚部为2,且z1z2的虚部为0,求z2.深度解析

题组二　复数范围内实系数一元二次方程根的问题

9.若1+3i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则方程的另一个根为(　　)

A.3+i B.1-3i C.3-i D.-1+3i

10.(2019上海曹杨二中高二期末)若1+2i是关于x的实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根,则(　　)

A.b=2,c=5 B.b=-2,c=5

C.b=-2,c=-5 D.b=2,c=-1

11.(多选)(2019上海交大附中高二期末)下列关于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R,a≠0)的说法正确的是(　　)

A.两根x1,x2满足x1+x2=-,x1x2=

B.两根x1,x2满足|x1-x2|=

C.若判别式Δ=b2-4ac≠0,则该方程有两个相异的根

D.若判别式Δ=b2-4ac=0,则该方程有两个相等的实数根

12.在复数范围内解下列方程.

(1)x2+5=0;

(2)3x2+2x+1=0;

(3)x2+4x+6=0.

13.(2020江苏南京秦淮中学高二期末)已知复数z1=+(a2-3)i,z2=2+(3a+1)i(a∈R,i是虚数单位).

(1)若复数z1-z2在复平面内对应的点落在第一象限,求实数a的取值范围;

(2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根,求实数m的值.

能力提升练

题组一　复数运算的综合应用　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020东北三省三校高三联考,)设复数z满足=z-2i(i为虚数单位),则z=(　　)

A.-i B.+i C.--i D.-+i

2.()复数z=,则ω=z2+z4+z6+z8+z10的值为(　　)

A.1 B.-1 C.i D.-i

3.(多选)()对任意z1,z2,z∈C,下列结论成立的是(　　)

A.当m,n∈N*时,有zmzn=zm+n

B.=·

C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且||2=|z|2=z·

D.z1=z2的充要条件是|z1|=|z2|

4.()若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则(　　)

A.a-5b=0 B.3a-5b=0

C.a+5b=0 D.3a+5b=0

5.(2020天津一中高二期末,)已知复数z=(i为虚数单位,a为实数)为纯虚数,则|a+2i|=　　　　. 

6.()设z的共轭复数是,若z+=4,z·=8,则等于　　　　. 

7.(2020北京大兴高一期末,)已知复数z=(m2-m)+(m+3)i(m∈R)在复平面内对应点Z.

(1)若m=2,求z·;

(2)若点Z在直线y=x上,求m的值.

8.(2020北京通州高一期末,)已知复数z=1-i(i是虚数单位).

(1)求z2-z;

(2)如图,复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,求.

题组二　复数范围内方程根的问题

9.(2019河南南阳高三期中,)已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,则a+b=(　　)

A.-1 B.1 C.-3 D.3

10.(2019上海吴淞中学高二期中,)在复数范围内分解因式:-x2+x-3=　　　　　　　　　. 

11.()关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是　　　　. 

12.()已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.

(1)求实数a,b的值;

(2)若复数z满足|z-b|=1,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.深度解析

答案全解全析

基础过关练

1.A　z1=1+i,z2=3-i,

所以z1·z2=(1+i)·(3-i)=3-i2+2i=4+2i.

2.B　∵z===-1-i,

∴复数z的虚部是-1.

3.B　∵=b+i,∴a+2i=-1+bi,

∴a=-1,b=2.∴a+b=1.

4.C　由(3+z)i=1,得3+z==-i,

所以z=-3-i.

5.D　因为===-+i,所以===,故选D.

6.A　∵===+i为纯虚数,

∴解得a=1.

7.A　因为(a+i)(1+bi)=1+3i,

所以(a-b)+(1+ab)i=1+3i,

即

解得或

当a=-1,b=-2时,|a+bi|=|-1-2i|==;

当a=2,b=1时,|a+bi|=|2+i|==.

综上,|a+bi|=.故选A.

8.解析　z1====2+i,

设z2=a+2i(a∈R),

则z1z2=(2+i)(a+2i)=(2a-2)+(a+4)i,

因为z1z2的虚部为0,

所以a+4=0,即a=-4.

所以z2=-4+2i.

方法技巧

复数的乘法与多项式的乘法类似,但要注意i2=-1,复数的除法运算中,除数为虚数时,应利用分母实数化,将除法转化为乘法,体现了转化思想.

9.B　根据复数范围内实系数一元二次方程的求根公式,知两个虚数根互为共轭复数,所以另一个根为1-3i.

10.B　由题意可知,关于x的实系数一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为1+2i和1-2i,由根与系数的关系,得

解得

故选B.

11.ACD　由一元二次方程根与系数的关系,可得x1+x2=-,x1x2=,当x1,x2是复数时,此关系式仍然成立,故A正确;

当x1,x2为虚根时,|x1-x2|≠,故B错误;

当判别式Δ=b2-4ac>0时,该方程有两个相异的实数根,当判别式Δ=b2-4ac<0时,该方程有两个虚数根,且它们互为共轭复数,故C正确;

若判别式Δ=b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根,D正确.

12.解析　(1)因为x2+5=0,

所以x2=-5,

又因为(i)2=(-i)2=-5,

所以x=±i,

所以方程x2+5=0的根为x=±i.

(2)因为Δ=4-4×3×1=-8<0,

所以方程3x2+2x+1=0的根为x==-±i.

(3)解法一:由x2+4x+6=0,知Δ=42-4×1×6=-8<0,

所以方程x2+4x+6=0的根为x=,即x=-2±i.

解法二:因为x2+4x+6=0,

所以(x+2)2=-2,

因为(i)2=(-i)2=-2,

所以x+2=i或x+2=-i,

即x=-2+i或x=-2-i,

所以方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i.

13.解析　(1)由条件得,z1-z2=+(a2-3a-4)i.

因为z1-z2在复平面内对应的点落在第一象限,所以

所以解得-2<a<-1.

所以a的取值范围是{a|-2<a<-1}.

(2)因为虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根,

所以z1+==6,即a=-1,

所以z1=3-2i,=3+2i,

所以m=z1·=13.

能力提升练

1.B　z====+i.

2.B　z===-i,z2=(-i)2=-1,

所以ω=-1+1-1+1-1=-1.

3.ABC　由复数乘法的运算律知A正确;设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则=a-bi,=c-di,所以z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,·=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以=(ac-bd)-(ad+bc)i=·,故B正确;由复数的模及共轭复数的概念知C正确;由z1=z2能推出|z1|=|z2|,但由|z1|=|z2|推不出z1=z2,因此|z1|=|z2|是z1=z2的必要不充分条件,D错误.

4.D　z=+bi=+bi=+i.

由题意知,=--b,则3a+5b=0.

5.答案　

解析　因为z===为纯虚数,所以a=,

所以|a+2i|==,

故答案为.

6.答案　±i

解析　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,

由z+=4,z·=8,得

∴∴z=2+2i,=2-2i或z=2-2i,=2+2i,

∴==-i或==i,即=±i.

7.解析　(1)因为m=2,

所以z=2+5i,=2-5i,

所以z·=(2+5i)(2-5i)=29.

(2)复数z=(m2-m)+(m+3)i(m∈R).

在复平面内对应的点为Z(m2-m,m+3).

因为点Z在直线y=x上,

所以m2-m=m+3,

所以m=-1或m=3.

8.解析　(1)∵z=1-i,

∴z2-z=(1-i)2-(1-i)=1-2i+i2-1+i

=-1-i.

(2)由题图得,z1=2i,z2=2+i,

∴===

=-+i.

9.A　当a=0时,解得b∉R,不符合题意,所以原方程为一元二次方程.

因为实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数,所以方程的另一个根为1-i,

根据根与系数的关系,可得解得

所以a+b=-1.

10.答案　-(x-1+i)(x-1-i)

解析　将-x2+x-3=0化简并整理,得x2-2x+6=0,Δ=(-2)2-4×1×6=-20<0,则x==1±i,所以-x2+x-3=-(x-1+i)(x-1-i).

11.答案　z=4+3i

解析　设z=x+yi(x,y∈R),则有+2x+2yi=13+6i,于是

解得或

因为13-2x=≥0,所以x≤,故x=舍去,故z=4+3i.

12.解析　(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实数根,

所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,

故解得a=b=3.

(2)由(1)得,b=3,

所以|z-b|=1即为|z-3|=1,

设z=m+ni(m,n∈R),

则z在复平面内对应的点Z的坐标为(m,n),|z-3|=1可以看成是点Z(m,n)到点(3,0)的距离为1,则点Z(m,n)是以(3,0)为圆心,1为半径的圆,如图所示.由图可知,当z=2时,|z|的最小值为2.

深度剖析

一元二次方程az2+bz+c=0(a≠0)的系数为虚数时,仍然可以用求根公式z=求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实数根,也可以设方程的根为z=x+yi(x,y∈R),利用待定系数法将z=x+yi代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于x,y的方程(组),从而求出x,y的值,进而得出方程的根.