数学必修 第二册7.1 复数的概念同步达标检测题

7.1.2　复数的几何意义

基础过关练

题组一　复数与复平面内点的对应关系　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.已知复数z=-i,则在复平面内对应的点Z的坐标为(　　)

A.(0,-1) B.(-1,0) C.(0,0) D.(-1,-1)

2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(　　)

A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i

3.若x,y∈R,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+yi在复平面内所对应的点在(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限　　　　　 　　　　　 　　　　　

4.已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:

(1)位于第四象限?

(2)在实轴负半轴上?

(3)位于上半平面(含实轴)?

题组二　复数与平面向量的对应关系

5.在复平面内,向量=(2,-3)对应的复数为(　　)

A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.-3-2i

6.已知i为虚数单位,在复平面内,与x轴同方向的单位向量e1和与y轴同方向的单位向量e2对应的复数分别是(　　)

A.1,i B.i,-i

C.1,-i D.1或-1,i或-i

7.已知i为虚数单位,在复平面内,O为原点,向量对应的复数为1+4i,向量对应的复数为-3+6i,则向量+对应的复数为(　　)

A.-3+2i B.-2+10i C.4-2i D.-12i

8.在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:1,-+i,--i.

题组三　复数的模及其应用

9.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为(　　)

A.1或3 B.1 C.3 D.2

10.在复平面内,O为原点,若点P对应的复数z满足|z|≤1,则点P的集合构成的图形是(　　)

A.直线 B.线段

C.圆 D.单位圆以及圆内部

11.使|lox-4i|≥|3+4i|成立的x的取值范围是(　　)

A. B.(0,1]∪[8,+∞)

C.∪[8,+∞) D.(0,1)∪(8,+∞)

12.若复数z=+(a2-a-6)i是实数,则z1=(a-1)+(1-2a)i的模为　　　　. 

13.在复平面内画出下列各复数对应的向量,并求出各复数的模.

1,-1+2i,-3i,6-7i.

题组四　共轭复数

14.已知i为虚数单位,若z=,则=(　　)

A. B. C. D.

15.已知i为虚数单位,若(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是(　　)

A.3,3 B.5,1

C.-1,-1 D.-1,1

16.若复数z1,z2满足z1=,则z1,z2在复平面内对应的点Z1,Z2(深度解析)

A.关于实轴对称 B.关于虚轴对称

C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称

17.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|=　　　　,=　　　　.  

能力提升练

题组一　复数几何意义的综合应用　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.()在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为点B,则向量对应的复数为(　　)

A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i

2.(多选)()设复数z满足z=-1-2i,i为虚数单位,则下列命题正确的是(　　)

A.|z|=

B.复数z在复平面内对应的点在第四象限

C.z的共轭复数为-1+2i

D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上

3.()已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a的值为(　　)

A.5 B.-2 C.-5 D.

4.(2020河南名校联盟高二月考,)设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+itan B(i为虚数单位)对应的点位于复平面的(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

5.(2020天津高一月考,)在复平面内,复数z=(m+1)+(m-1)i对应的点在直线x+y-4=0上,则实数m的值为　　　　,|z|=　　　　. 

6.()若复数z=(-6+k2)-(k2-4)i(k∈R,i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第三象限,则k的取值范围是　　　　　　　　.  

7.()在复平面内,已知O为坐标原点,点Z1,Z2分别对应复数z1=4+3i,z2=2a-3i(a∈R),若⊥,则a=　　　　.  

8.()已知3-4i=x+yi(x,y∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为　　　　　　　　. 

9.(2020北京房山高一期末,)已知复数z=3+ai,且|z|<4,则实数a的取值范围是　　　　. 

10.()已知复数z1=-i,z2=-+i.设z∈C,试问满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点的集合是什么图形?

11.()在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为坐标原点.

(1)求向量+和对应的复数;

(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.

题组二　共轭复数性质的应用

12.(2020河南洛阳模拟,)设复数z满足=|1-i|+i(i为虚数单位),则复数z=(　　)

A.-i B.+i

C.1 D.-1-2i

13.()设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数的共轭复数的模为(　　)

A.5 B.50

C.25 D.5

14.(多选)()已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,下列命题正确的是(　　)

A.z不可能为纯虚数

B.若z的共轭复数为,且z=,则z是实数

C.若z=|z|,则z是实数

D.|z|可以等于

15.(多选)()设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,i为虚数单位,则以下结论正确的是(　　)

A.z对应的点在第一象限

B.z一定不为纯虚数

C.z一定不为实数

D.对应的点在实轴的下方

16.()在复平面内,O为原点,复数z=3+4i对应的点Z关于x轴的对称点为Z1,则向量对应的复数为　　　　. 

答案全解全析

基础过关练

1.A　复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应的点Z的坐标为(0,-1).

2.C　复数6+5i对应的点A的坐标为(6,5),-2+3i对应的点B的坐标为(-2,3).由中点坐标公式知点C的坐标为(2,4),∴点C对应的复数为2+4i,故选C.

3.A　∵x+y+(x-y)i=3-i,

∴解得

∴复数1+2i在复平面内所对应的点为(1,2),在第一象限.

4.解析　(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,需满足

∴∴-7<m<3.

(2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足

∴∴m=4.

(3)要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.

5.A　由复数的几何意义,知=(2,-3)对应的复数为2-3i.故选A.

6.A　由题意知e1=(1,0),e2=(0,1),故对应的复数分别为1,i,故选A.

7.B　因为向量对应的复数为1+4i,向量对应的复数为-3+6i,所以=(1,4),=(-3,6),所以+=(1,4)+(-3,6)=(-2,10),所以向量+对应的复数为-2+10i.

8.解析　设复数1,-+i,--i在复平面内对应的点分别为A,B,C,则A(1,0),B,C,与之对应的向量可用,,来表示,如图所示.

9.A　依题意可得=2,解得m=1或m=3,故选A.

10. D　由|z|≤1,得||≤1,所以满足条件的点P的集合是以原点O为圆心,1为半径的圆及其内部.

11.C　由已知得≥,

∴(lox)2≥9,

∴lox≥3或lox≤-3,

解得0<x≤或x≥8.

∴x∈∪[8,+∞).

12.答案　

解析　∵z为实数,

∴a2-a-6=0且a+2≠0,

∴a=3,

∴z1=2-5i,∴|z1|=.

13.解析　设复数1,-1+2i,-3i,6-7i在复平面内对应的点分别为A,B,C,D,对应的向量分别为,,,,如图所示.

|1|=1,

|-1+2i|==,

|-3i|==3,

|6-7i|==.

14.B　根据共轭复数的定义可知,选项B正确.

15.D　∵(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,

∴解得

16.A　设z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,则Z1(a,b),Z2(c,d).由z1=得,a+bi=c-di,则a=c,b=-d,所以z1,z2在复平面内对应的点Z1,Z2关于实轴对称.

方法总结

共轭复数的特点:

(1)在复平面内,共轭复数表示的两个点关于实轴对称;

(2)共轭复数的模相等,即|z|=||.

17.答案　12;-12i

解析　由题意得所以m=3, 因此z=12i,故|z|=12,=-12i.

能力提升练

1.B　因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),

所以点A关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以对应的复数为-2+i.

2.AC　|z|==,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,B不正确;z的共轭复数为-1+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线y=-2x上,D不正确.故选AC.

3.A　设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为,,(O为坐标原点),则=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a).

∴=-=(-2,4),

=-=(-3,a+1).

∵A,B,C三点共线,

∴∥,

∴-2(a+1)-(-3)×4=0,

解得a=5.

故a的值为5.

4.B　因为A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B>,即A>-B,所以sin A>cos B,所以cos B-tan A=cos B-<cos B-sin A<0,又tan B>0,所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限,故选B.

5.答案　2;

解析　由题意得点(m+1,m-1)在直线x+y-4=0上,∴(m+1)+(m-1)-4=0,

∴m=2,∴z=3+i,∴|z|=.

6.答案　2<k<或-<k<-2

解析　∵复数z所对应的点在第三象限,

∴∴2<k<或-<k<-2.

7.答案　

解析　因为z1=4+3i,z2=2a-3i(a∈R),

所以=(4,3),=(2a,-3).

因为⊥,

所以8a=9,解得a=.

8.答案　|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|

解析　由3-4i=x+yi(x,y∈R),

得x=3,y=-4.

∴|x-yi|=|3+4i|==5,

|y+2i|=|-4+2i|==.

易得|1-5i|==,

∵<5<,

∴|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.

9.答案　(-,)

解析　解法一:∵z=3+ai(a∈R),∴|z|=,由已知得32+a2<42,∴a2<7,

∴a∈(-,).

解法二:利用复数的几何意义,由|z|<4,知z在复平面内对应的点在以原点为圆心,4为半径的圆内.

由z=3+ai知z对应的点Z在直线x=3上,

∴线段AB(除去端点)为动点Z的集合.

由图可知-<a<.

10.解析　|z1|=|-i|=2,|z2|===1.

∵|z2|≤|z|≤|z1|,∴1≤|z|≤2,对应的点Z的集合是以原点O为圆心,1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),如图所示.

11.解析　(1)由已知得,,所对应的复数分别为1+4i,-3i,2,

则=(1,4),=(0,-3),=(2,0),

所以+=(1,1),=-=(1,-4),

故+对应的复数为1+i,对应的复数为1-4i.

(2)解法一:由已知得,点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),则AC的中点的坐标为,由平行四边形的性质知,BD的中点的坐标也是.

设D(x0,y0),则解得所以D(3,7).

故D对应的复数为3+7i.

解法二:由已知得,点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),设D(x0,y0),则=(-1,-7),=(2-x0,-y0).

因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,所以解得

所以D(3,7),故D对应的复数为3+7i.

解法三:由已知得=(1,4),=(0,-3),=(2,0),

所以=(1,7),=(2,3),

由平行四边形的性质得=+=(3,10),所以=+=(3,7),所以D(3,7),故D对应的复数为3+7i.

12.A　因为=|1-i|+i=+i,所以复数z=-i.故选A.

13.D　由题意知,=(2,3),=(-3,-2),

∴=-=(5,5),

∴对应的复数为5+5i,

∴其共轭复数为5-5i,模为5,故选D.

14.BC　当a=0时,b=1,此时z=i,为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且z=,则 a+bi=a-bi,因此b=0,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;由|z|=得a2+b2=,又a+b=1,b=1-a,因此8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,所以方程无实数解,即|z|不可以等于,D错误.故选BC.

15.CD　对于A,2t2+5t-3=2->-,t2+2t+2=(t+1)2+1>0,所以复数z对应的点可能在第一象限,也可能在第二象限,故A错误;对于B,当即t=-3或t=时,z为纯虚数,故B错误;对于C,因为t2+2t+2>0恒成立,所以z一定不为实数,故C正确;对于D,由选项A的分析知,z对应的点在实轴的上方,所以对应的点在实轴的下方,故D正确.故选CD.

16.答案　3-4i

解析　由题意,知点Z的坐标为(3,4),所以点Z关于x轴的对称点Z1的坐标为(3,-4),所以向量对应的复数为3-4i.