苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义同步达标检测题

12.3　复数的几何意义

基础过关练

题组一　复数的几何意义

1.在复平面内,复数z=cos 3+isin 3的对应点位于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.(2020江苏海头高级中学高一月考)已知复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　)

A.(-3,1) B.(-1,3)

C.(1,+∞) D.(-∞,-3)

3.(2020江苏白塔高级中学高一阶段测试)在复平面内,O是原点,向量对应的复数是3+i,点A关于虚轴的对称点为B,则向量对应的复数是　　　　.易错 

4.在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:1,-+i,--i.

5.当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内的对应点位于:

(1)第四象限?

(2)x轴负半轴上?

(3)实轴的上方(含实轴)?

题组二　复数加减法的几何意义

6.(2019江苏南京第十三中学高一期中)设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于(　易错　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

7.已知=(5,-1),=(3,2),对应的复数为z,则=(　　)

A.5-i B.3+2i C.-2+3i D.-2-3i

8.已知A、B、C是复平面内的三个不同点,点A、C对应的复数分别是1+i,4-2i,若=2,则点B表示的复数是(　　)

A.-i B.2 C.2i D.3-i

9.(2020江苏徐州第一中学阶段测试)如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i.求:

(1)表示的复数;

(2)表示的复数;

(3)表示的复数.

题组三　复数的模及其几何意义

10.(2019江苏溧阳中学高一期中)已知i为虚数单位,复数ω=(1+i)2,则|ω|=(　　)

A. B.2 C.2 D.4

11.复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),若|z|≤1,则点Z的集合构成的图形是(　　)

A.直线 B.线段

C.圆 D.单位圆以及圆内的部分

12.(2019江苏浒浦中学期中)若复数z满足z(-1+2i)=|1+3i|2(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

13.若复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),其中m∈R,则|z|=　　　　.

14.若复数z1=sin-icos,z2=2+3i,则|z1|　　　|z2|(填“>”“<”或“=”).

能力提升练

题组一　复数及其加减法的几何意义

1.(2020山东临沂高二期末,)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,若z1=zz2,则z的共轭复数=(　　)

A.+i 

B.-i

C.-+i 

D.--i

2.(2020江苏宝应高级中学阶段测试,)已知复数z1=cos x+2 f(x)i,z2=(sin x+cos x)+i,x∈R,在复平面内,设复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,若∠Z1OZ2=90°,其中O是坐标原点,则函数f(x)的最大值为(　　)

A.- B. C.- D.

3.(多选)(2020江苏赣榆城头高级中学高一月考,)设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,i为虚数单位,则以下结论正确的是(　　)

A.z对应的点在第一象限

B.z一定不为纯虚数

C.z一定不为实数

D.对应的点在实轴的下方

4.(2020江苏苏州中学高二月考,)已知O为坐标原点,向量、分别对应复数z1、z2,且z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i(a∈R),+z2是实数.

(1)求实数a的值;

(2)求以OZ1、OZ2为邻边的平行四边形的面积.

题组二　复数模的应用

5.(2020江苏苏州新草桥中学高一期中,)设z1,z2∈C,-4z1z2+4=0,|z2|=2,则以|z1|为直径的圆的面积为(　　)

A.π B.4π C.8π D.16π

6.(2020福建宁德高一模拟,)在复平面内,O为坐标原点,复数z1=i(+i),z2=对应的点分别为Z1,Z2,则∠Z1OZ2的大小为(　　)

A. B. C. D.

7.(2020山东临沂期中,)已知复数z满足z·=4且z++|z|=0,则z2 019的值为(　　)

A.-1 B.-22 019 C.1 D.22 019

8.(2020江苏清江中学期中,)已知复数z=x+(x-a)i,若对任意实数x∈(1,2),恒有|z|>|+i|,则实数a的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.

9.(2020江苏白蒲高级中学高一阶段测试,)若复数z=(a-2)+(a+1)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是　　　　.易错 

10.(2020江苏宿迁中学高一阶段检测,)复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i(i是虚数单位),则|z1|2+|z2|2=　　　　.

11.(2020江苏宿豫中学学情检测,)设z1=-i,z2=--i,z∈C.若全集I={z||z|≤|z1|},A={z||z|≤|z2|},那么∁IA中所有z在复平面内对应的点的集合是什么图形?

答案全解全析

12.3　复数的几何意义

基础过关练

1.B　因为<3<π,所以sin 3>0,cos 3<0,故在复平面内,复数z=cos 3+isin 3的对应点位于第二象限.

2.A　由题意得解得-3<m<1.

3.答案　-3+i

解析　向量对应的复数是3+i,即A(3,1),则点A关于虚轴的对称点为B(-3,1),则向量对应的复数是-3+i.

易错警示　复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面内与相等的向量有无数个.

4.解析　设复数1,-+i,--i在复平面内对应的点分别为A,B,C,则A(1,0),B,C,与之对应的向量可用,,来表示, 如图所示.

5.解析　(1)若复数z在复平面内的对应点位于第四象限,则

∴

∴-7<m<3.

(2)若复数z在复平面内的对应点位于x轴负半轴上,则

∴

∴m=4.

(3)若复数z在复平面内的对应点位于实轴的上方(含实轴),则m2+3m-28≥0,

解得m≥4或m≤-7.

6.D　因为z1-z2=5-7i,所以z1-z2在复平面内对应的点位于第四象限.

易错警示　复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),而不是Z(a,bi).

7.D　∵=(5,-1),=(3,2),∴=-=(-2,3),∴对应的复数z=-2+3i,则=-2-3i.

8.B　由题意可知A(1,1),C(4,-2),

设B(x,y),则=(4-x,-2-y),=(x-1,y-1),

由=2,得(4-x,-2-y)=(2x-2,2y-2),

∴解得

∴点B表示的复数为2.

9.解析　由复数的几何意义,知与表示的复数分别为3+2i,-2+4i.

(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.

(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

(3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.

10.B　因为ω=(1+i)2=1+2i+i2=2i,

所以|ω|==2.

11.D　∵复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),|z|≤1,

∴点Z的集合是以原点为圆心,1为半径的圆及其内部.

12.C　因为z====-2-4i,所以该复数在复平面内对应的点为(-2,-4),位于第三象限.

13.答案　3

解析　因为复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),

所以m-2=0且m+1≠0,解得m=2,

所以z=3i,所以|z|=3.

14.答案　<

解析　|z1|=

=

==,

|z2|=|2+3i|==.

因为=<,所以|z1|<|z2|.

能力提升练

1.A　由题图可知z1=1+2i,z2=-1+i,

所以z====,

所以=+i.

2.B　由题意知=(cos x,2 f(x)),=(sin x+cos x,1),

∵∠Z1OZ2=90°,

∴sin xcos x+cos2x+2 f(x)=0,

即2 f(x)=-sin 2x-=-sin 2x-cos 2x-,

∴f(x)=-sin-,x∈R,

则函数f(x)的最大值为.

3.CD　因为2t2+5t-3=2-≥-,t2+2t+2=(t+1)2+1>0,所以复数z对应的点可能在第一象限,也可能在第二象限,故A错误;

当即t=-3或t=时,z为纯虚数,故B错误;

因为t2+2t+2>0恒成立,所以z一定不为实数,故C正确;

由选项A知,z对应的点在实轴的上方,所以对应的点在实轴的下方,故D正确.

故选CD.

4.解析　(1)由题意可得=-(10-a2)i,

又z2=+(2a-5)i,

∴+z2=++(a2+2a-15)i,

∵复数+z2是实数,∴

解得a=3.

(2)由(1)可得z1=+i,z2=-1+i,

则点Z1,Z2(-1,1),

因此,以OZ1、OZ2为邻边的平行四边形的面积S=|Z1Z2|×1=.

5.B　∵-4z1z2+4=0,

∴(z1-2z2)2=0,∴z1=2z2.

∴|z1|=2|z2|=4,

∴以|z1|为直径的圆的面积为π×=4π.

6.B　∵z1=i(+i)=-1+i,

z2=====+i,

∴Z1(-1,),Z2,

则·=(-1,)·=0.

∴∠Z1OZ2的大小为.

7.D　设z=a+bi(a,b∈R),

由z·=4且z++|z|=0,得

解得

∴z=-1±i=2.

∵=-+3××+3××+=1,

=-+3××i+3××+=1,

∴z2 019=22 019·=22 019·=22 019.

8.A　|z|=,|+i|=|x+(a+1-x)i|=,即>,可转化为(x-a)2>[(a+1)-x]2,整理得a<x-,∵x∈(1,2),∴x-∈,∴a∈.

9.答案　

解析　复数z=(a-2)+(a+1)i在复平面内对应的点的坐标为(a-2,a+1),

因为该点位于第二象限,

所以解得-1<a<2.

由条件得|z|=

==

=.

因为-1<a<2,

所以|z|的取值范围是.

易错警示　本题在求|z|的取值范围时,除了要利用二次函数的性质外,还需要注意字母a的取值范围,即所求的是二次函数在某个区间的值域.

10.答案　100

解析　设O为坐标原点,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以线段OM1、OM2为邻边的平行四边形是矩形,即∠M1OM2为直角,

又M是斜边M1M2的中点,且||==5,

所以||=2||=10,

所以|z1|2+|z2|2=||2+||2=||2=100.

11.解析　∵z1=-i,z2=--i,

∴|z1|==3,

|z2|==1.

∴∁IA中的所有z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心,以1和3为半径的圆所夹的圆环,但不包括小圆的边界,如图所示.