2020-2021学年6.1 平面向量的概念免费练习题

第六章　平面向量及其应用

6.1　平面向量的概念

6.1.1　向量的实际背景与概念

6.1.2　向量的几何表示

6.1.3　相等向量与共线向量

基础过关练

题组一　向量的概念及几何表示

1.给出下列物理量:①密度;②路程;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是 (　　)　　　　 　　　　　 　　　　　

A.①②③是数量,④⑤⑥是向量

B.②④⑥是数量,①③⑤是向量

C.①④是数量,②③⑤⑥是向量

D.①②④⑤是数量,③⑥是向量

2.(2020山东淄博淄川中学高一上月考)下列说法正确的是(　　)

A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小

B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小

C.向量的大小与方向有关

D.向量的模可以比较大小

3.中国象棋中规定:马走“日”字.下图是中国象棋的半个棋盘,若马在A处,则可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量,表示马走了“一步”.若马在B处或C处,则以B,C为起点表示马走了“一步”的向量共有　　　　个. 

4.在平面直角坐标系中,用有向线段表示下列向量,使它们的起点都是原点O,并求终点A的坐标.

(1)|a|=2,a的方向与x轴正方向的夹角为60°,与y轴正方向的夹角为30°;

(2)|a|=4,a的方向与x轴正方向的夹角为30°,与y轴正方向的夹角为120°;

(3)|a|=4,a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°.

题组二　相等向量与共线向量

5.如图,在圆O中,向量,,是(　　)

A.有相同起点的向量

B.单位向量

C.模相等的向量

D.相等向量

6.若||=||,且=,则四边形ABCD的形状为(　　)

A.平行四边形 B.矩形

C.菱形 D.等腰梯形

7.(多选)(2020天津静海一中高一下月考)下列说法中正确的是(　　)

A.零向量与任一向量平行

B.起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量

C.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反

D.向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b

8.给出下列命题:

①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;

②若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;

③若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则四边形ABCD为平行四边形;

④若a,b为非零向量,则a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.

其中真命题的序号是　　　　. 

9.如图所示,△ABC的三边均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中:

(1)写出与共线的向量;

(2)写出与的模相等的向量;

(3)写出与相等的向量.深度解析

能力提升练

题组一　向量的概念及几何表示

1.(2020山东潍坊高一阶段考试,)|e|=1是向量e为单位向量的(　　)　　 　　　　　 　　　　　

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件       D.既不充分也不必要条件

2.(2020辽宁本溪高一下月考,)把表示同一平面内所有模不小于1且不大于2的向量的有向线段的起点移到同一点O,则这些有向线段的终点所构成的图形的面积等于　　　　.深度解析 

题组二　相等向量与共线向量

3.(2019广东深圳高一期末,)已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,下列关系中错误的是(　　)

A.C⊆A B.A∩B={a}

C.C⊆B D.(A∩B)⊇{a}

4.(2019河南郑州一中高一期末,)如图是3×4的网格图(每个小方格都是单位正方形),则起点和终点都在方格的顶点处,与平行且模为的向量共有(　　)

A.12个 B.18个 C.24个 D.36个

5.(2019吉林省实验中学高一期末,)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中不一定成立的是(　　)

A.||=|| B.与共线

C.与共线 D.=

6.()设a0,b0分别是与a,b同向的单位向量,则下列结论中正确的是(　　)

A.a0=b0 B.a0=-b0

C.|a0|+|b0|=2 D.a0∥b0

7.(2020山东济南外国语学校高一下月考,)如图,半圆的直径AB=6,C是半圆上的一点,D,E分别是AB,BC上的点,且AD=1,BE=4,DE=3.

(1)求证:∥;

(2)求||.

8.()一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向北偏西40°走了200 km到达C点,最后又改变方向向东行驶了100 km到达D点.

(1)作出向量,,;

(2)求||.深度解析

9.()在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点,如图所示.

(1)写出与向量共线的向量;

(2)求证:=.

答案全解全析

基础过关练

1.D　由物理知识可知,密度、路程、质量、功只有大小,没有方向,因此是数量;速度、位移既有大小又有方向,因此是向量.故选D.

2.D　根据向量的相关定义,知D正确.

3.答案　11

解析　表示马在B处走了“一步”的向量如图(1)所示,共3个;表示马在C处走了“一步”的向量如图(2)所示,共8个.

综上,若马在B处或C处,则以B,C为起点表示马走了“一步”的向量共有11个.

4.解析　(1)如图①所示,向量即为所求.由图可知,xA=2cos 60°=1,yA=2sin 60°=,∴A(1,).

图①

(2)如图②所示,向量即为所求.

由图可知,xA=4cos 30°=2,yA=-4sin 30°=-2,∴A(2,-2).

图②

(3)如图③所示,向量即为所求.

由图可知,xA=-4cos 45°=-4,yA=-4·sin 45°=-4,∴A(-4,-4).

图③

5.C　由题图可知,三个向量的起点不同,方向不同,但模长相等,所以不是相等向量,故A、D错误,C正确;不能确定,,的模长是1,故B错误.

6.C　∵=,∴四边形ABCD为平行四边形,又∵||=||,∴四边形ABCD为菱形.

7.AB　对于选项A,零向量的方向是任意的,零向量与任一向量平行,A正确;对于选项B,根据相等向量的定义知,B正确;对于选项C,若a,b中有一个是零向量,则不能说a与b的方向相同或相反,C错误;对于选项D,向量不能比较大小,D错误.故选AB.

8.答案　③

解析　①错误,两个向量的起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点;

②错误,若b=0,则a与c不一定共线;

③正确,因为=,所以||=||且∥,又A,B,C,D是不共线的四点,

所以四边形ABCD为平行四边形;

④错误,当a=b时,可得|a|=|b|,a∥b,且a与b方向相同;当|a|=|b|,a∥b,且向量a,b方向相反时,不能得到a=b,所以|a|=|b|且a∥b是a=b的必要不充分条件.故答案为③.

9.解析　因为E,F分别是AC,AB的中点,所以EF∥BC,EF=BC.又因为D是BC的中点,所以BD=DC=BC=EF.

(1)与共线的向量有,,,,,,.

(2)与的模相等的向量有,,,,.

(3)与相等的向量有,.

导师点睛

判断一组向量是否相等,关键要看这组向量是否方向相同,长度相等,与起点和终点的位置无关.对于共线向量,只需判断它们是否同向或反向即可.

能力提升练

1.C　单位向量是指模长为1的向量,因此若|e|=1,则e是单位向量;若e是单位向量,则|e|=1.

故|e|=1是向量e为单位向量的充要条件.

2.答案　3π

解析　如图所示,这些有向线段的终点构成的图形是一个圆环,其面积为π·22-π·12=3π.

解题反思

起点相同,长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量的模为半径的圆.

3.B　因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量,所以B中的关系错误.

4.C　由题意知,与平行且模为的向量共有24个.故选C.

5.C　由题可知||=||,∥∥,=,但与不一定共线,所以A,B,D中的结论成立,C中的结论不一定成立.

6.C　因为a0,b0分别是与a,b同向的单位向量,而a,b的方向是不确定的,所以a0与b0的方向也不确定,所以A,B,D错误;因为|a0|=|b0|=1,所以|a0|+|b0|=2,所以C正确.故选C.

7.解析　(1)证明:由题意知,在△DBE中,BD=5,DE=3,BE=4,∴△DBE是直角三角形,且∠DEB=90°.

又∵点C为半圆上一点,AB为直径,

∴∠ACB=90°.

∴AC∥DE,∴∥.

(2)易知△ABC∽△DBE,

∴=,即=,

∴AC=,即||=.

8.解析　(1)向量,,如图所示.

(2)由题意易知与方向相反,故与共线,

又∵||=||,

∴在四边形ABCD中,AB?CD,

∴四边形ABCD为平行四边形,

∴=,∴||=||=200(km).

解题反思

准确画出向量的关键是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点,用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和方向,三者缺一不可.

9.解析　(1)与向量共线的向量有,,.

(2)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,因为E,F分别是CD,AB的中点,

所以ED∥BF且ED=BF,所以四边形BFDE是平行四边形,故=.