必修 第一册5.5 三角恒等变换同步练习题

第五章　5.5　5.5.2

A组·素养自测

一、选择题

1．(2019·陕西省西安市段考)的值等于(　A　)

A．sin 40° B．cos 40°

C．cos 130° D．±cos 50°

[解析]　＝＝＝|cos 130°|＝－cos 130°＝sin 40°，故选A．

2．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝(　C　)

A．1 B．－1

C．0 D．±1

[解析]　因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.

3．若sinθ＝，<θ<3π，则tan＋cos＝(　B　)

A．3＋ B．3－

C．3＋ D．3－

[解析]　因为<θ<3π，所以cosθ＝－＝－.因为<<，所以sin<0，cos<0，所以sin＝－＝－，cos＝－＝－，所以tan＝＝3.所以tan＋cos＝3－.

4．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　由＋＝4，得

＝4，所以＝4，

sin2θ＝.

5．设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于(　B　)

A． B．－

C．－ D．

[解析]　由于cos＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以cos<0.所以cos＝－.

6.·等于(　B　)

A．tanα B．tan2α

C．1 D．

[解析]　原式＝＝＝＝tan2α.

二、填空题

7．已知sinθ＝－，3π<θ<，则tan＝__－3__.

[解析]　根据角θ的范围，求出cosθ后代入公式计算，即由sinθ＝－，3π<θ<，得cosθ＝－，从而tan＝＝＝－3.

8．已知cos2α＝，且<α<π，则tanα＝__－__.

[解析]　∵<α<π，∴tanα＝－＝－.

9．若sin2α<0，cosα<0，则cosα＋sinα＝__sin(α－)__.

[解析]　由题可知α为第二象限角，且<<.

原式＝cosα＋sinα

＝－cosαtan(－)＋sinα·tan

＝－2sin2(－)＋2sin2

＝－1＋cos(－α)＋(1－cosα)＝sin(α－)．

三、解答题

10．求证：＝.

[证明]　左边＝

＝

＝＝＝＝＝右边．

∴原等式成立．

11．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos与tan的值．

[解析]　因为α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝，

所以cosα＝－，cosβ＝.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－)×＋×＝.因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π，即0<<，所以cos＝＝＝.

方法一：由0<<，得sin＝＝，所以tan＝＝.

方法二：由0<α－β<π，cos(α－β)＝，得

sin(α－β)＝＝.

所以tan＝＝＝.

B组·素养提升

一、选择题

1．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是(　C　)

A．[0，] B．[，1]

C．[，] D．[0,1]

[解析]　cos2A＋cos2B＝＋

＝1＋(cos2A＋cos2B)

＝1＋cos·cos

＝1＋cos(A＋B)·cos(A－B)

＝1＋cos·cos(A－B)＝1－cos(A－B)．

∵cos(A－B)∈[－1,1]，∴cos2A＋cos2B∈[，]．

2．(2019·甘肃武威第十八中学单元检测)若<θ<π，则－＝(　D　)

A．2sin－cos B．cos－2sin

C．cos D．－cos

[解析]　∵<θ<π，∴<<，∴sin>cos>0.

∵1－sinθ＝sin2＋cos2－2sincos

＝(sin－cos)2，(1－cosθ)＝sin2，

∴－

＝－

＝(sin－cos)－sin＝－cos.

3．(多选题)下列各式中，值为的是(　AC　)

A． B．tan15°cos215°

C．cos2－sin2 D．

[解析]　A符合，原式＝×＝tan45°＝；B不符合，原式＝sin15°·cos15°＝sin30°＝；C符合，原式＝·cos＝；D不符合，原式＝×＝tan60°＝，故选AC．

4．(多选题)下列各式与tanα相等的是(　CD　)

A．

B．

C．·(α∈(0，π))

D．

[解析]　A不符合，＝＝＝|tanα|；B不符合，＝＝tan；C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tanα；D符合，＝＝tanα.

二、填空题

5．已知tan＝，则cosα＝____.

[解析]　∵tan＝±，∴tan2＝.

∴＝，解得cosα＝.

6．设0<θ<，且sin＝，则tanθ等于____.

[解析]　∵0<θ<，sin＝，

∴cos＝＝.

∴tan＝＝，tanθ＝＝＝·(x＋1)＝.

7．(sin＋cos)2＋2sin2(－)的值等于__2__.

[解析]　原式＝1＋sinα＋2·

＝1＋sinα＋1－sinα＝2.

三、解答题

8．已知cos(x＋)＝且<x<，求的值．

[解析]　原式＝＝，

cosx＋sinx＝sin(x＋)，

由<x<，即<x＋<2π，知sin(x＋)<0，

由cos(x＋)＝(cosx－sinx)＝，

得cosx－sinx＝，且sin(x＋)＝－，

对cosx－sinx＝两边平方得1－2sinxcosx＝.

∴2sinxcosx＝.

∴原式＝＝－.

9．已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A，B，C的大小．

[解析]　由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，

∴sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0，

∴sinB(sinA－cosA)＝0，

∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴sinA＝cosA，

∵A∈(0，π)，∴A＝，从而B＋C＝.

由sinB＋cos2C＝0，得sinB＋cos(－2B)＝0，

∴sinB－sin2B＝0，sinB－2sinBcosB＝0，

∴cosB＝，∴B＝，∴C＝.

于是A＝，B＝，C＝.