高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第1课时同步练习题

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价(　　)

A．10% B．9%

C．11% D．%

答案　D

解析　设应提价的百分率为p，原价为a，则a(1－10%)·(1＋p)＝a，∴1＋p＝，p＝＝%.

2．某企业的产品成本前两年平均每年递增20%，经过改进技术，后两年的产品成本平均每年递减20%，那么该企业的产品成本现在与原来相比(　　)

A．不增不减 B．约增8%

C．约增5% D．约减8%

答案　D

解析　设原来成本为a，则现在的成本为a(1＋20%)2·(1－20%)2＝0.9216a，比原来约减8%.

3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.79万公顷，则沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　)

A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)

C．y＝ D．y＝0.2＋log16x

答案　C

解析　当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C．

4．某工厂的产值月平均增长率为p，则年平均增长率是(　　)

A．(1＋p)11 B．(1＋p)12

C．(1＋p)11－1 D．(1＋p)12－1

答案　D

解析　设第一年的第一个月的产值为a，则第一年的产值M＝a＋a(1＋p)＋a(1＋p)2＋…＋a(1＋p)11，

第二年的产值N＝a(1＋p)12＋a(1＋p)13＋…＋a(1＋p)23＝M·(1＋p)12.

∴年平均增长率为＝(1＋p)12－1.

5．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)(　　)

A．1.78 B．2.77 

C．2.89 D．4.40

答案　B

解析　由题意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln ＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.

二、填空题

6．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________；经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．

答案　2ln 2　1024

解析　设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e，解得k＝2ln 2，当t＝5时，y＝e(2ln 2)·5＝e10ln 2＝210＝1024(个)．

7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2000·ln .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．

答案　e6－1

解析　当v＝12000时，2000·ln ＝12000，

∴ln ＝6.∴＝e6－1.

8．为了预防甲流的发生，某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝

据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．

答案　0.6

解析　由题意可得y≤0.25＝，

即得或

得0≤t≤或t≥0.6.因为前0.1个小时药物浓度是逐渐增大的，故至少需要经过0.6小时后才可回教室．

三、解答题

9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.

(1)求出V关于Q的函数解析式；

(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．

解　(1)设V＝k·log3，

∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3，

∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为V＝log3.

(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，∴Q＝2700，

即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2700个单位．

10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初始含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)

解　设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则第一次过滤后杂质剩余量为2%，

第二次过滤后杂质剩余量为

2%＝2%2，

……

第x次过滤后杂质剩余量为

2%x≤0.1%，即x≤.①

对①式两边取对数，得

x(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，

∴x≥≈7.4.据实际情况知x∈N，

∴x≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．

B级：“四能”提升训练

1．诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2006年诺贝尔奖的奖金发放后基金总额约为19800万美金．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖的奖金发放后的基金总额(2006年记为f(1)，2007年记为f(2)，…，依次类推)．

(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；

(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2016年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由(参考数据：1.03129≈1.32)．

解　(1)由题意，知f(2)＝f(1)×(1＋6.24%)－f(1)×6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，

f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，

∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．

(2)2015年诺贝尔奖发放后基金总额为

f(10)＝19800(1＋3.12%)9≈26136，

故2016年度诺贝尔奖各项奖金均为×f(10)×6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，所以是假新闻．

2．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)．

(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；

(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

解　(1)若m＝2，

则θ＝2·2t＋21－t＝2，

当θ＝5时，2t＋＝，

令2t＝x≥1，则x＋＝，

即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝ (舍去)，

此时t＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．

(2)物体的温度总不低于2摄氏度，

即θ≥2恒成立．

亦m·2t＋≥2恒成立，

亦即m≥2恒成立．

令＝y，则0<y≤1，

所以m≥2(y－y2)，

由于y－y2≤，所以m≥.

因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.