2021学年2.2 基本不等式一课一练

新20版练B1数学人教A版2.2基本不等式

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.2 基本不等式

考点1 基本不等式的理解

1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　)。

A.a2+b2>2ab B.a+b≥2

C.+ > D.+≥2

答案：D

解析：当a=b时,A不成立;当a<0,b<0时,B,C都不成立,故选D。

2.(2018·广东佛山第一中学高一下学期期中)设正实数a,b满足a+b=1,则(　　)。

A.+有最大值4  B.有最小值

C.+有最大值 D.a2+b2有最小值

答案：C

解析：对于A,+=(a+b)=2+≥2+2=4,当且仅当=且a+b=1,即a=b=时等号成立,∴+的最小值为4,故A不正确。

对于B,由不等式得≤=,当且仅当a=b=时等号成立,∴的最大值为,故B不正确。

对于C,由不等式可得+≤2=2=,当且仅当a=b=时等号成立,∴+有最大值,故C正确。

对于D,由不等式可得a2+b2≥2=,当且仅当a=b=时等号成立,∴a2+b2有最小值,故D不正确。故选C。

3.已知正数a,b满足ab=10,则a+b的最小值是(　　)。

A.10 B.25 C.5 D.2

答案：D

解析：a+b≥2=2,当且仅当a=b=时等号成立,故选D。

4.(2019·四川成都高一下学期期中)已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab的最大值为(　　)。

A.1 B. C. D.

答案：C

解析：已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab≤ =,当且仅当a=b=时取等号。故选C。

5.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么(　　)。

A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一

B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一

C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一

D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一

答案：A

解析：∵a+b≥2,∴ab≤ =4,当且仅当a=b=2时取等号。∵c+d≥2,∴c+d≥2=4,当且仅当c=d=2时取等号。

故c+d≥ab,当且仅当a=b=c=d=2时取等号。

考点2　利用基本不等式比较大小

6.若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2,2ab,a2+b2中最大的一个是(　　)。

A.a2+b2 B.2

C.2ab D.a+b

答案：D

解析：方法一:∵0<a<1,0<b<1且a≠b,∴a2+b2>2ab,a+b>2,a>a2,b>b2,∴a+b>a2+b2,故选D。

方法二:取a=,b=,则a2+b2=,2=,2ab=,a+b=,显然最大。

7.设0<a<b,且a+b=1,在下列四个数中最大的是(　　)。

A. B.b C.2ab D.a2+b2

答案：B

解析：∵0<a<b,∴ab<,∴ab<,∴2ab<。

∵>>0,∴>,∴a2+b2>。

∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大。

8.已知a>b>c,则与的大小关系是　　　。 

答案：≤ 

解析：∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时等号成立。

考点3　利用基本不等式求最值之无条件求最值

9.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为(　　)。

A. B. C. D.

答案：B

解析：由x(3-3x)=×3x(3-3x)≤×=,当且仅当3x=3-3x,即x=时取等号。

10.函数y=3x2+的最小值是(　　)。

A.3 B.3

C.6 D.6-3

答案：D

解析：y=3(x2+1)+-3≥2-3=2-3=6-3,当且仅当x2=-1时等号成立,故选D。

11.若xy是正数,则 +的最小值是(　　)。

A.3 B. C.4 D.

答案：C

解析：+=x2+y2+++=++≥1+1+2=4。

当且仅当x=y=或x=y=-时取等号。

12.(2019·上海青浦一中高一上学期期中)设x>0,则的最小值为　　　。 

答案：2-1 

解析：由x>0,可得x+1>1。

可令t=x+1(t>1),即x=t-1,则==t+-1≥2-1=2-1,当且仅当t=,即x=-1时,等号成立。

考点4　利用基本不等式求最值之有条件求最值

13.(2019·湖北天门、仙桃、潜江高一下学期期末联考)设a,b∈R,a2+b2=k(k为常数),且+的最小值为1,则k的值为(　　)。

A.1 B.4 C.7 D.9

答案：C

解析：由题得a2+1+b2+1=k+2,

∴+==·=≥×(5+4)==1,∴k=7。

14.(2019·安徽淮北二模)已知正数x,y满足x+2y-2xy=0,那么2x+y的最小值是　　　。 

答案：

解析：根据题意,若x+2y-2xy=0,则+=1。

故2x+y=(2x+y)=++≥+2=,当且仅当x=y=时,等号成立,即2x+y的最小值是。

15.(上海高考)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为　　　。 

答案：2

解析：x2+2y2≥2=2·=2,当且仅当x2=2y2,且xy=1时等号成立。

考点5　利用基本不等式求解实际应用题

16.某工厂第一年产量为A,第二年产量的增长率为a,第三年产量的增长率为b,这两年产量的平均增长率为x,则(　　)。

A.x= B.x≤

C.x> D.x≥

答案：B

解析：∵这两年产量的平均增长率为x,∴A(1+x)2=A(1+a)·(1+b),∴(1+x)2=(1+a)(1+b),a>0,b>0。

∴1+x=≤=1+,

∴x≤,等号在1+a=1+b,即a=b时成立。故选B。

17.某金店用一台不准确的天平(两边臂长不相等)称黄金,某顾客要购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5 g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金(　　)。

A.大于10 g B.小于10 g

C.大于等于10 g D.小于等于10 g

答案：A

解析：设左、右两臂长分别为b,a,两次放入的黄金的克数分别为x,y,

依题意有ax=5b,by=5a,∴xy=25。∵≥,∴x+y≥10,当且仅当x=y时取等号,

又a≠b,∴x≠y。∴x+y>10,即两次所得黄金大于10 g,故选A。

18.(2019·四川眉山一中高二月考)一艘轮船在航行中的燃油费和它的速度的立方成正比,已知在速度为10 km/h时的燃油费是每小时6元,其他与速度无关的费用是每小时96元,则行驶每千米的费用总和最小时,该轮船的航行速度为　　　km/h。 

答案：20

解析：设速度为v km/h,则每千米费用总和y=,又k×103=6,∴k=,

∴y=v2+=v2++≥3=,

当且仅当v2=,即v=20时取等号。故答案为20。

19.某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,根据市场分析每辆客车的运营总利润y(单位:十万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系,其图像如图2-2-1所示。若使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运　　　年。 

图2-2-1

答案：5

解析：由题意得二次函数图像的顶点坐标为(6,11),

设二次函数的解析式为y=a(x-6)2+11,

由题意得点(4,7)在函数图像上,

∴7=a(4-6)2+11,解得a=-1。

∴y=-(x-6)2+11=-x2+12x-25。

∴年平均利润为=-x-+12=12-≤12-2=2,当且仅当x=,即x=5时等号成立。

∴当x=5时,有最大值2。

即要使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运5年。

20.(2019·安徽蚌埠高一下学期期末)某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目,准备购置一块1 800 m2的矩形地块,中间挖三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(如图2-2-2中阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2 m,如图2-2-2所示,池塘所占面积为S m2,其中a∶b=1∶2。

图2-2-2

(1)试用x,y表示S;

答案：由题意得xy=1 800,b=2a,则y=a+b+6=3a+6,

S=a(x-4)+b(x-6)=a(x-4)+2a(x-6)=(3x-16)a=(3x-16)×=xy-6x-y+32=1 832-6x-y,

其中x∈(6,300),y∈(6,300)。

(2)若要使S最大,则x,y的值分别为多少?

答案：由(1)可知,x∈(6,300),y∈(6,300),xy=1 800,

6x+y≥2=2=480,

当且仅当6x=y时等号成立,

∴S=1 832-6x-y≤1 832-480=1 352,

此时9x=8y,xy=1 800,解得x=40,y=45。

故要使S最大,x,y的值分别为40,45。

考点6　利用基本不等式求解恒成立问题

21.已知x>0,y>0,x+2y=1。若 +>m2+3m+4恒成立,则实数m的取值范围是(　　)。

A.(-∞,-4]∪[-1,+∞)

B.(-∞,-1]∪[4,+∞)

C.(-4,1)

D.(-1,4)

答案：C

解析：×1=(x+2y)=4++≥8,

即m2+3m+4<8恒成立,m2+3m-4<0的解集为(-4,1)。故选C。

22.当x>0时,不等式x2+mx+4>0恒成立,则实数m的取值范围是　　　。 

答案：(-4,+∞)　

解析：∵x>0,不等式x2+mx+4>0可化为-m<x+,而当x>0时,x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时等号成立,∴x+的最小值为4。∴-m<4,即m>-4。故实数m的取值范围是(-4,+∞)。

23.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为　　　。 

答案：4

解析：∵a>0,∴(x+y)=1+a++≥1+a+2,由条件知a+2+1≥9,∴a≥4。

24.(2018·安徽亳州蒙城一中高三月考)设a>0,若对于任意的正数m,n,都有m+n=8,则满足≤+的a的取值范围是　　　。 

答案：[1,+∞)

解析：由m+n=8可得m+n+1=9,故+=(m+n+1)·=≥×(5+2)==1,当且仅当n+1=2m,m+n=8,即m=3,n=5时等号成立,∴只需≤1,又a>0,故a≥1。

25.设正数x,y满足+≤a·恒成立,则a的最小值是　　　。 

答案：

解析：由已知知a≥,∵≤成立,

∴+≤·,∴=,∴a≥。

26.(2019·山东济宁微山一中、邹城一中高二下学期期中)已知a>0,b>0。

(1)求证:+≥a+b;

答案：证明:∵a>0,b>0,

∴++a+b=+≥2a+2b,

当且仅当a=b时等号成立,

∴+≥a+b(当且仅当a=b时等号成立)。

(2)利用(1)的结论,试求函数y=+(0<x<1)的最小值。

答案：解:由于0<x<1,

可将1-x看作(1)中的a,x看作(1)中的b。

依据(1)的结论,则有y=+≥1-x+x=1,

当且仅当1-x=x,即x=时,等号成立,

∴所求函数y=+的最小值为1。

27.(2019·陕西西安铁一中高一下学期期中)已知a>b>c且+≥恒成立,求实数m的最大值。

答案：解:方法一:由题意,a>b>c,令a-b=p>0,b-c=q>0,

a-c=p+q>0,那么不等式转化为+≥,

即≥,即m≤=++3。

又++3≥3+2=3+2(当且仅当q=p时取等号)。

∴实数m的最大值为3+2。

方法二:由题意,a-b>0,b-c>0,a-c>0,

∴+≥,即+≥m,

即+≥m,

即2++1+≥3+2(当且仅当a-b=(b-c)时取等号)。

∴实数m的最大值为3+2。