高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词精练

课时素养评价 八

全称量词与存在量词

　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　30分)

1.“存在集合A，使∅A”，对这个命题，下面说法中正确的是 (　　)

A.全称量词命题、真命题

B.全称量词命题、假命题

C.存在量词命题、真命题

D.存在量词命题、假命题

【解析】选C.当A≠∅时，∅A，是存在量词命题，且为真命题.故选C.

2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是 (　　)

A.∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2

B.∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2

C.∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2

D.∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2

【解析】选D.命题对应的全称量词命题为：

∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2.

3.若“任意x∈，x≤m”是真命题，则实数m的最小值为                                                                                                                                                                                                                      (　　)

A.-   B.-

C.    D.

【解析】选D.因为“任意x∈，x≤m”是真命题，所以m≥，

所以实数m的最小值为.

4.对每一个x1∈R，x2∈R，且x1<x2，都有<是_______(填“全称”或“存在”)量词命题，是_______(填“真”或“假”)命题. 

【解析】含有全称量词“每一个”，是全称量词命题，令x1=-1，x2=0，则>，故此命题是假命题.

答案：全称　假

5.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：

(1)实数都能写成小数形式.

(2)有的有理数没有倒数.

(3)不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根.

(4)存在一个实数x，使x2+x+4≤0.

【解析】(1)∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题.

(2) ∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题.

(3) ∀m∈R，方程x2+x-m=0必有实根.

当m=-1时，方程无实根，是假命题.

(4) ∃x∈R，使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立，所以为假命题.

　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.下列命题中，存在量词命题的个数是 (　　)

①实数的绝对值是非负数；

②正方形的四条边相等；

③存在整数n，使n能被11整除.

A.1 B.2 C.3 D.0

【解析】选A.①②是全称量词命题，③是存在量词命题.

2.设非空集合P，Q满足P∩Q=Q且P≠Q，则下列命题是假命题的是 (　　)

A.∀x∈Q，有x∈P B.∃x∈P，有x∉Q

C.∃x∉Q，有x∈P D.∀x∉Q，有x∉P

【解析】选D.因为P∩Q=Q且P≠Q，

所以QP，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有元素集合Q中是没有的，所以A，B，C正确，D错误.

3.(2020·丹东高一检测)已知∀x∈[0，2]，p>x；∃x∈[0，2]，q>x.那么p，q的取值范围分别为              (　　)

A.p∈(0，+∞)，q∈(0，+∞)

B.p∈(0，+∞)，q∈(2，+∞)

C.p∈(2，+∞)，q∈(0，+∞)

D.p∈(2，+∞)，q∈(2，+∞)

【解析】选C.由∀x∈[0，2]，p>x；得p>2.

由∃x∈[0，2]，q>x；得q>0.

所以p，q的取值范围分别为(2，+∞)，(0，+∞).

二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4.下列命题是真命题的为 (　　)

A.∀x∈R，-x2-1<0

B.∀n∈Z，∃m∈Z，nm=m

C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径

D.存在实数x，使得=

【解析】选ABC.对于A，∀x∈R，-x2≤0，

所以-x2-1<0，此命题是真命题；

对于B，当m=0时，nm=m恒成立，此命题是真命题；对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，此命题是真命题.对于D，

因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2，

所以≤<.故该命题是假命题.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对为_______. 

【解析】当a=，b=时，存在两个不相等的正数a，b，使得a-b=ab是真命题，故所求有序数对可以为.

答案：(答案不唯一)

6.给出下列命题，

①存在a，b∈R，使得a2+b2-2a-2b+2<0；

②任何实数都有算术平方根；

③某些四边形不存在外接圆；

④∀x∈R，y∈R，都有x2+|y|>0.

其中正确命题的序号为_______. 

【解析】①是假命题，因为对任意的a，b∈R，

都有a2+b2-2a-2b+2=+≥0；

②是假命题，例如-4没有算术平方根；

③是真命题，因为只有对角互补的四边形有外接圆；

④为假命题，当x=y=0时，x2+|y|=0.

答案：③

【误区警示】解答本题①容易忽视配方法的应用.

四、解答题

7.(10分)是否存在整数m，使得命题“∀x≥-，-5<3-4m<x+1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

【解析】假设存在整数m，使得命题“∀x≥-，-5<3-4m<x+1”是真命题.

因为当x≥-时，x+1≥，

所以-5<3-4m<，解得<m<2，

又m为整数，所以m=1，

故存在整数m=1，使得命题“∀x≥-，

-5<3-4m<x+1”是真命题.

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