【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：椭圆的几何性质

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：椭圆的几何性质，共10页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共29小题；共145分）
1. 中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为
A. 83B. 23C. 43D. 4

2. 已知 P 为椭圆 x24+y24=1 上一点，F1，F2 为该椭圆的两个焦点，若 ∠F1PF2=60∘，则 PF1⋅PF2=
A. 32B. 3C. 6D. 2

3. 焦点在 x 轴上的椭圆方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为 b3，则椭圆的离心率为
A. 14B. 13C. 12D. 23

4. 已知椭圆 C:x2a2+y24=1 的一个焦点为 2,0，则 C 的离心率为
A. 13B. 12C. 22D. 223

5. 已知椭圆 x211−m+y2m−3=1 的长轴在 y 轴上，且焦距为 4，则 m 等于
A. 5B. 6C. 9D. 10

6. 已知椭圆 G 的中心为坐标原点 O，点 F，B 分别为椭圆 G 的右焦点和短轴端点．点 O 到直线 BF 的距离为 3，过 F 垂直于椭圆长轴的弦长为 2，则椭圆 G 的方程是
A. x24+y22=1B. y24+x22=1C. x216+y24=1D. y216+x24=1

7. 已知椭圆 mx2+4y2=1 的离心率为 22，则实数 m 等于
A. 2B. 2 或 83C. 2 或 6D. 2 或 8

8. 若点 D2,3 在椭圆 M:x2m2+y2n2=1m>0,n>0 上，且其中一个焦点是 −2,0，则椭圆 M 的方程为
A. x212+y216=1B. x216+y212=1C. x248+y264=1D. x264+y248=1

9. 设椭圆长半轴长为 a，短半轴长为 b，半焦距为 c，则过焦点且垂直于长轴的弦长是
A. b2aB. 2c2aC. c2aD. 2b2a

10. 已知 F1，F2 分别是椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点．若 P 为椭圆上一点，且 △PF1F2 的内切圆周长为 23π3，则满足条件的点 P 有
A. 4 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个

11. F1，F2 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．若 △F1MF2 面积的最大值为 12ab，则椭圆的离心率为
A. 12B. 1C. 35D. 3−1

12. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 π 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，椭圆 C 的面积为 23π，且离心率为 12，则 C 的标准方程为
A. x24+y23=1B. x212+y2=1C. x23+y24=1D. x216+y23=1

13. 某地的旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为
A. 25B. 35C. 235D. 255

14. 椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，且长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 的值为
A. 2B. 4C. 12D. 14

15. 已知椭圆 C:x24+y23=1 的左、右顶点分别为 A，B，P 为椭圆上异于 A，B 两点的动点，则 kPA⋅kPB=
A. 43B. −34C. 34D. −43

16. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c，直线 y=−3x−c 与椭圆 C 的一个交点为 M（M 在第一象限）满足 ∠MF2F1=2∠MF1F2，则该椭圆的离心率为
A. 22B. 2−1C. 3−1D. 32

17. 椭圆 x225+y29=1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2，N 是 MF1 的中点，则 ∣ON∣ 等于
A. 2B. 4C. 8D. 32

18. 已知椭圆 x2m2+y2n2=1m>0,n>0 与椭圆 x225+y216=1 有相同的长轴，椭圆 x2m2+y2n2=1 的短轴长与椭圆 y221+x29=1 的短轴长相等，则
A. m2=25，n2=16B. m2=9，n2=25
C. m2=25，n2=9 或 m2=9，n2=25D. m2=25，n2=9

19. 如图，焦点在 x 轴上的椭圆 x24+y2b2=1 的离心率 e=12，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则 PF⋅PA 的最大值为
A. 1B. 23C. 4D. 43

20. 焦点在 x 轴上的椭圆 x2a2+y23=1a>0 的离心率为 22，则 a 等于
A. 6B. 6+32C. 6D. 32

21. 已知 F1，F2 是椭圆 x29+y225=1 的两个焦点，A 为椭圆上一点，则 △AF1F2 的周长为
A. 10B. 14C. 16D. 18

22. 已知点 P 在以 F1，F2 为左，右焦点的椭圆 C:x22b2+y2b2=1b>0 上，在 △PF1F2 中，若 ∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则 sinα+βsinα+sinβ=
A. 12B. 22C. 32D. 2

23. 已知抛物线的焦点为椭圆 x24+y29=1 的下焦点，顶点为椭圆中心，则该抛物线的方程为
A. x2=−45yB. y2=−45xC. x2=−413yD. y2=−413x

24. 已知椭圆 C:x216+y212=1，圆 A:x2+y2−3x−y+2=0，P，Q 分别为椭圆 C 和圆 A 上的点，F−2,0，则 ∣PQ∣+∣PF∣ 的最小值为
A. 4−322B. 8−32C. 4−2D. 8−2

25. 已知直线 l：x+y−1=0 经过椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率为
A. 2−12B. 2−1C. 12D. 22

26. 以椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形，且椭圆 C 上的点到焦点的最短距离为 1，则椭圆 C 的标准方程为
A. x24+y23=1B. x24+y22=1C. x24+y2=1D. x28+y24=1

27. 已知椭圆 x24+y2=1 经过点 Pm,n，则 m2+n2 的取值范围是
A. 0,1B. 0,4C. 4,+∞D. 1,4

28. 已知 P 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上一点，F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，且 PF1⊥PF2，若 tan∠PF2F1=7，则 C 的离心率为
A. 528B. 427C. 325D. 223

29. 已知经过原点 O 的直线与椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 相交于 M，N 两点（M 在第二象限），A，F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线 MF 平分线段 AN，且 AF=4，则该椭圆的方程为
A. x29+y25=1B. x236+y24=1C. x236+y232=1D. x225+y224=1

二、选择题（共1小题；共5分）
30. 我们通常称离心率为 5−12 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0，A1，A2 分别为左、右顶点，B1，B2 分别为上、下顶点，F1，F2 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆 C 为“黄金椭圆”的有
A. ∣A1F1∣⋅∣F2A2∣=∣F1F2∣2
B. ∠F1B1A2=90∘
C. PF1⊥x 轴，且 PO∥A2B1
D. 四边形 A1B2A2B1 的内切圆过焦点 F1，F2
答案
第一部分
1. C【解析】由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，
所以长轴长 2a=8，短轴长 2b=4，
所以 a=4，b=2，可得 c=a2−b2=23，
因此焦距 2c=43．
2. D【解析】根据椭圆方程可知 a=2，c=4−3=1．
设 PF1=m，PF2=n，由椭圆的定义和余弦定理得 m+n=2a,2c2=m2+n2−2mncs60∘, 可得 mn=4，
故 PF1⋅PF2=mncs60∘=4×12=2．
3. C【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，
又由三角形面积公式得 12×2c×b=122a+2c×b3，得 a=2c，即 e=ca=12．
4. C【解析】因为 a2=b2+c2=4+4=8，所以 a=22，所以 e=ca=22．
5. C
【解析】由椭圆 x211−m+y2m−3=1 的长轴在 y 轴上，焦距为 4，可得 m−3−11+m=2，解得 m=9．
6. C【解析】设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，由已知设 BF 的方程为 xc+yb=1，因为点 O 到直线 BF 的距离为 3．所以 bca=3，又因为过 F 垂直于椭圆长轴的弦长为 2，所以 2b2a=2，结合 a2=b2+c2，知 a=4，b=2，故选C．
7. D
8. B【解析】（方法 1）由一个焦点是 −2,0，知焦点在 x 轴上，排除A，C，由题意知 c=2，与选项D中的 c=64−48=4 矛盾．故选B．
（方法 2）由题意知椭圆 M 是标准方程，由一个焦点是 −2,0，知焦点在 x 轴上，c=2，另一个焦点是 2,0，由椭圆定义，得 2a=2+22+9=2−22+9=5+3=8，所以 a=4，所以 b2=a2−c2=12．故选B．
9. D【解析】设椭圆焦点在 x 轴上，椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，将 x=c 或 x=−c 代入椭圆的标准方程得 c2a2+y2b2=1，
所以 y2b2=1−c2a2=a2−c2a2=b2a2，解得 y=±b2a，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是 2b2a．
故选D．
10. C
【解析】由椭圆 x24+y23=1，可得 a=2，b=3，c=1．
因为 △PF1F2 的内切圆的周长为 2πr=23π3（r 为内切圆的半径），
所以 r=33．
故 S△PF1F2=122a+2c⋅r=a+cr=2+1×33=3．
设点 P 的纵坐标为 yP，
因为 S△PF1F2=12×2c×∣yP∣=∣yP∣=3，
所以 yP=±3，
所以符合条件的点 P 有 2 个，分别为椭圆的上、下顶点．
11. A【解析】设 M 的纵坐标为 n，椭圆的半焦距为 c，
则 △F1MF2 的面积 S=12⋅2c⋅∣n∣=c∣n∣．
由 −b≤n≤b，可得 ∣n∣≤b，
所以 S 的最大值为 bc，
则 bc=12ab，即 c=12a．
所以 e=ca=12．
12. A【解析】由题意可得 ca=12，23ππ=ab，即 ab=23，
又 a2=b2+c2，
所以 a2=4，b2=3，
所以椭圆的标准方程为 x24+y23=1．
13. B【解析】由题意可知 2a=25.5，2b=20.4，
则 c=a2−b2=25.524−20.424=15.32，
所以椭圆的离心率 e=2c2a=．
14. D【解析】椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，即有 0b>0 的右焦点为 c,0，上顶点为 0,b，
因为直线 l：x+y−1=0 经过椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点和上顶点，
所以 c=1，b=1，
所以 e=ca=cb2+c2=22．
26. A【解析】因为以椭圆短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形，
所以 b=32a，c=12a．
因为椭圆 C 上的点到焦点的最短距离为 1，
所以 a−c=1，
所以 a=2，c=1，b=3，
所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1．
27. D【解析】因为椭圆 x24+y2=1 经过点 Pm,n，
所以 m24+n2=1，
所以 n2=1−m24，
则 m2+n2=m2+1−m24=3m24+1．
又 −2≤m≤2，
所以 0≤m2≤4，
故 m2+n2 的取值范围是 1,4．
故选D．
28. A【解析】设 PF2=m，
因为 PF1⊥PF2，tan∠PF2F1=7，
所以 PF1=7m，F1F2=52m，
故 e=ca=2c2a=F1F2PF1+PF2=528．
29. C【解析】解法一：
由 AF=4，得 a−c=4，则 Fa−4,0，
设线段 AN 的中点为 P，Mm,n，则 N−m,−n，
又 Aa,0，所以 Pa−m2,−n2，
因为点 M，F，P 在同一直线上，
所以 kMF=kFP，即 n−0m−a−4=−n2−0a−m2−a−4，
解得 a=6，所以 c=2，则 b2=a2−c2=32．
故椭圆的方程为 x236+y232=1．
解法二：
如图，取 AN 的中点 P，连接 MA，OP．
因为 O 是 MN 的中点，P 是 AN 的中点，
所以 OP∥MA，且 OP=12MA，因此 △OFP∽△AFM，
所以 OFAF=OPAM=12，即 c4=12，因此 c=2，
从而 a=c+AF=2+4=6，故 b2=62−22=32，
故该椭圆的方程为 x236+y232=1．
第二部分
30. B， D
【解析】因为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0，
所以 A1−a,0，A2a,0，B10,b，B20,−b，F1−c,0，F2c,0．
对于A，若 ∣A1F1∣⋅∣F2A2∣=∣F1F2∣2，则 a−c2=2c2，所以 a−c=2c，所以 e=13，不满足条件，故A不符合条件；
对于B，∠F1B1A2=90∘，所以 ∣A2F1∣2=∣B1F1∣2+∣B1A2∣2，所以 a+c2=a2+a2+b2，所以 c2+ac−a2=0，所以 e2+e−1=0，解得 e=5−12 或 e=−5−12（舍去），故B符合条件；
对于C，PF1⊥x 轴，且 PO∥A2B1，所以 P−c,b2a，因为 kPO=kA2B1，所以 b2a−c=b−a，解得 b=c，因为 a2=b2+c2，所以 a=2c，所以 e=ca=c2c=22，不满足题意，故C不符合条件；
对于D，四边形 A1B2A2B1 的内切圆过焦点 F1，F2，即四边形 A1B2A2B1 的内切圆的半径为 c，所以 ab=ca2+b2，所以 c4−3a2c2+a4=0，所以 e4−3e2+1=0，解得 e2=3+52（舍去）或 e2=3−52，所以 e=5−12，故D符合条件．