初中数学人教版九年级上册22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质第2课时教案设计

22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质(第2课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．能够用描点法作出函数y＝ax2的图象．

2．认识和理解y＝ax2的性质．

【过程与方法】

 经历探索二次函数y＝ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法．

【情感态度与价值观】

在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．

二、重难点目标

【教学重点】

1．掌握函数y＝ax2的图象的画法．

2．理解函数y＝ax2的图象与性质．

【教学难点】

用描点的方法准确地画出函数y＝ax2的图象，掌握其性质特征．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P29～P32的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．用描点法画函数图象的一般步骤：__列表__、__描点__、__连线__.

2．抛物线y＝x2中的开口方向是__向上__，顶点坐标是__(0,0)__，对称轴是__y轴__.抛物线y＝－x2的开口方向是__向下__，顶点坐标是__(0,0)__，对称轴是__y轴__.

3．一般地，当a>0，时，抛物线y＝ax2的开口向__上__，对称轴是__y轴__，顶点是__原点__，顶点是抛物线的最__低__点，a越大，抛物线的开口越__小__；当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点是__原点__，顶点是抛物线的最__高__点，a越小，抛物线的开口越__小__.

4．对于二次函数y＝ax2的图象：如果a>0，当x<0，时，y随x的增大而__减小__，当x>0，时，y随x的增大而__增大__；如果a<0，当x<0，时，y随x的增大而__增大__，当x>0，时，y随x的增大而__减小__.

环节2　合作探究，解决问题

【活动1】　小组讨论(师生对学)

【例1】下图是甲、乙、丙三人画的二次函数y＝2x2的图象．请你帮助修改．

　　　　　　　　甲　　　　　　　　　乙　　　　　　　　　丙

【互动探索】(引发学生思考)画二次函数y＝ax2的图象应注意些什么问题？

【解答】图甲：有两个错误的地方：①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连结；②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止．

图乙：有一个错误，有一个点(1，－2)的位置画错(或表格中对应值算错)．

图丙：错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性．

二次函数y＝2x2的图象如下所示：

【互动总结】(学生总结，老师点评)画二次函数的图象时应注意的问题：(1)在画函数图象时，图象必须平滑，顶端不能画成尖形；(2)抛物线是向两个方向无限延伸的，左右两边必须保持关于对称轴对称；(3)用描点法画出的图象只是二次函数的图象的一部分，且是近似的．

【例2】已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．

(1)求满足条件的m的值；

(2)m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；此时当x为何值时，y随x的增大而增大？

【互动探索】(引发学生思考)二次函数必须满足什么条件？二次函数 y＝ax2的性质有哪些？这些性质与a有什么关系？

【解答】(1)由题意，得

解得

 ∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数．

(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，

∴m＋2>0，即m>－2，

∴只能取m＝2.

∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0,0)，

∴当x>0时，y随x的增大而增大．

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)y＝ax2＋bx＋c为二次函数的前提条件是a≠0，且自变量x的最高次数为2.(2)二次函数y＝ax2的性质：当a＞0时，开口向上，x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小；函数的最小值为0；顶点坐标为(0,0)．当a＜0时，开口向下；当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大；函数的最大值为0；顶点坐标为(0,0)．

【活动2】　巩固练习(学生独学)

1．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　B　)

　　　　　　 　A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　 　　D

2．函数y＝(－x)2的图象是__抛物线__，顶点坐标是__(0,0)__，对称轴是__y轴__，开口方向是__向上__.

3．已知函数y＝ax2经过点(－1,3)．

(1)求a的值；

(2)当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况是什么？

解：(1)把点(－1,3)代入y＝ax2，得a＝3.

(2)因为3＞0，所以当x<0时，y的值随x值的增大而减少．

【活动3】　拓展延伸(学生对学)

【例3】已知函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝x－3交于点(1，b)．

(1)求a、b的值；

(2)x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？

【互动探索】(引发学生思考)抛物线与直线的交点有什么性质？二次函数的增减性与什么有关？

【解答】(1)把(1，b)代入y＝x－3可得，b＝1－3＝－2，

∴点的坐标为(1，－2)．

把(1，－2)代入y＝ax2，得－2＝a，即a＝－2.

∴a＝－2，b＝－2.

(2)由(1)可得，y＝－2x2，

∴抛物线开口向下，且对称轴为y轴，

∴当x＜0时，y随x的增大而增大．

【互动总结】(学生总结，老师点评)抛物线与直线的交点即为同时满足抛物线方程、直线方程的点，将这个点的坐标代入抛物线方程、直线方程均成立．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！